基础 静电平衡的导体内部场强为零： 原因：内部电子自由移动形成了反向电场，抵消了外部的电场。 例题 【例子】 有一空气平行板电容器，电容为C，两极板间距为d,充满电后两极板间的相互作用力为F，则两极板间的电压为_，正极板带电量为_。 【分析与解答】 $$ F = \frac{QE}{2} = Q \frac{U}{2d}\\ Q = CU $$ 所以 $ U = \frac{2dF}{Q} = \frac{Q}{C} $，所以 $ Q = \sqrt[]{2dFC}, U = \frac{Q}{C} = \sqrt[]{\frac{2dF}{C}}$ 【例子】 一空气平行板电容的两极板面积均为S,两板的间距为d,在两板间平行地插入一面积也是S、厚度为t的金属片(t < d),请问电容C是多少? 【分析与解答】 $ C = \dfrac{\varepsilon _0 S}{\Sigma \frac{d_i}{\varepsilon _{r_i}}} $ 两个极端：空气的 $ \varepsilon _r = 1 $，金属板的 $ \varepsilon _r = + \infty $ 对于本题： $$ C = \frac{\varepsilon _0 S}{\frac{d - t}{1} + \frac{t}{+\infty }} = \dfrac{\varepsilon _0S}{d - t} Read more...

答案是 1. 【例子】 在单缝夫琅禾费衍射实验中，波长为λ的单色光垂直入射在宽度为 a＝4 λ的单缝上，对应于衍射角为 30°的方向，单缝处波阵面可分成的半波带数目为 【分析与解答】 半波带数目满足 $ a \sin \theta = m \frac{\lambda }{2} $ 所以 $ 4 \lambda \cdot \frac{1}{2} = m \frac{\lambda }{2} $ 所以 $ m = 4 $ 【例子】 一个质点作简谐振动，振幅为 A，在起始时刻质点的位移为 $\frac{1}{2}A$ ，且向 x 轴的正方向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为？ 【分析与解答】 根据运动方向首先排除远离 $ x $ 轴的 A，D。根据位移排除 $ C,D $ 因为他俩是负的。选B。 用劈尖干涉检测工件的表面，如图 1(a)，当波长为λ的单色光入射时，观察到的干涉条纹如图 1(b)所示，每一条纹弯曲部分的顶点恰好与左邻的直线部分的连线相切，由图(b)上的条纹可知，工件表面 ［ ］ (A) 有一凸起，高为λ/2 (B) 有一凸起，高为λ/4 (C) 有一凹陷，深为λ/2 (D) 有一凹陷，深为λ/4 【分析与解答】 假设是凸起，那么光程差就会增大，$ \delta = 2ne + \frac{\lambda }{2} $。我们顺着两个玻璃板子从左往右看，光程差是不断增大的，所以凸起的话就要往右边凸。显然他是往左边凸，因此是凹陷。 Read more...

【例子】 两相干波源 S1 和 S2 的振动方程分别是 $ y_1 = A \cos \omega t $ 和 $ A \cos ( \omega t + \frac{\pi }{2} ) $ .S1距P点 3 个波长，S2距P点 21/4 个波长.两波在P点引起的两个振动的相位差是？ 【分析与解答】 $ S_1 $ 在 P 点引起的振动相位： $ - 6 \pi $ $ S_2 $ 在 P 点引起的振动相位： $ \frac{\pi }{2} - \frac{21}{4} \cdot 2 \pi = - 10 \pi $ 相位差 $ 10 - 6 = 4 \pi $ Read more...

即可求解。答案 $\frac{3}{4}$ 这里有一个三边平方关系可以利用。如图。 【例子】 两个同振动方向、同频率、振幅均为 A 的简谐振动合成后，振幅仍为 A，则这两个简谐振动的相位差为（） 【分析与解答】 学过模电的都懂，答案是 $ \dfrac{4}{3} \pi $ 或者 $ \dfrac{2}{3}\pi $。那么为什么呢？ 有两种方法，第一种是画出旋转矢量，调整夹角使得矢量和等于两边，自然会画出两个等边三角形，所以夹角是 $ \dfrac{2}{3} \pi $。第二种方法是设出第二个简谐运动的三角函数表达式，然后硬解。 【例子】 求图中 $ x= 0 $ 处振动的初相位。 【分析与解答】 $ y = 0 $，可知旋转矢量的相位是 $ \pm \frac{\pi }{2} $ 将波形补充左边，并向 $ u $ 的方向平移，可以发现 $ x= 0 $ 处的质点向 $ y $ 负方向移动，也就是说，旋转矢量在下一时刻 $ y $ 值要减少，所以只可能是 $ \frac{\pi }{2} $ 注意 这种在 $ [-y,y] $ 区间运动的质点，旋转矢量的横轴实际上是 $ y $ 轴： Read more...

(因为上下环路，都与电流平行，所以是 2l。因为电流所在的金属板在选取区域内长度是 $ l $，所以是 $ jl $） 所以 $ B = \mu_0 / 2j $。可见，无限均匀平面电流两侧的磁场为均匀等大反向磁场。 【例子】 一个无限长厚壁导体圆简内径为R1，外径为R2，圆简上通有电流I，且电流均匀分布，求该圆简的磁感应强度分布。 【分析与解答】 如果 $ r > R_2 $ 取圆筒外任意闭合圆环，则 $ B(2 \pi r - 0) = \mu_0 I $ 得到 $ B = \dfrac{\mu_0 I }{ 2 \pi r} $ 可以发现这样的方法比手动计算积分方便多了。 如果 $ r < R_1 $ 显然 $ \vec{B} = 0 $ 如果 $ R_1 < r < R_2 $，则通过的电流要乘以一个权重： $\frac{\pi r^{2}-\pi R_{1}^{2}}{\pi R_{2}^{2}-\pi R_{1}^{2}}$ ，结果 $B=\frac{\mu_{0} I\left(\pi r^{2}-\pi R_{1}^{2}\right)}{2 \pi r\left(\pi R_{2}^{2}-\pi R_{1}^{2}\right)}$ Read more...

表明了质心的运动方式，这就是质心运动定律。 参考资料 本文部分内容，参考和引用了维基百科和No Vacancy。感谢。

（本文有多处彩蛋）

PS: 斯坦福把这一部分作为第六章，我们则当做第一章第二小节，不得不佩服苏联模式下的学生都是大（gan）佬（di）。 法向加速度 法向加速度是怎么来的？公式又如何推出？ 在圆周运动中，我们一直被教以：切向加速度改变速度速度大小，法向加速度改变速度方向。但是后者对我来说很难理解，我花了很长时间才弄明白。下面我们来探究一下。 首先，什么是加速度？加速度是 $\vec{v}$ 对 $t$ 的导数： $$ \vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} \tag{1} $$ 而速度可以表示为 速度大小乘以切向矢量：（切线是 tangent，故有角标 t） $$ \vec{v}=v\vec{e_t}\tag{2} $$ 带入 (1) 中，可得： $$ \vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} \tag{1}=\frac{\mathrm{d}(v\vec{e_t})}{\mathrm{d}t} $$ （注意要用链式法则）也即： $$ \vec{a} = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\vec{e_t} + v\frac{\mathrm{d}\vec{e_t}}{\mathrm{d}t} $$ 加号左边 $\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\vec{e_t}$ 是切向加速度。（带入 $v=\omega r$ 还可得到角加速度） 加号右边 $v\dfrac{\mathrm{d}\vec{e_t}}{\mathrm{d}t}$ 中，$\dfrac{\mathrm{d}\vec{e_t}}{\mathrm{d}t}$ 表示切向单位向量的变化率。什么？单位向量还有变化率？实际上考虑旋转变换，单位向量随时间转圈圈，一个无穷小时间 $\mathrm{d} t$ 内，转过了 $\mathrm{d}\theta$ 度，对比前后的两个向量，确实是产生了一个差向量。把它记作 $\Delta\vec{e_t}$ （注：下面所说的圆都是极限情况的曲率圆，也就是曲线密切圆） 可以看到，当 $\Delta \theta \to 0$ 时，$\Delta e_t \perp e_{t1}$ $\Delta e_t$指向圆心。什么，指向圆心？我们需要换个角度看问题： 箭头那里就是单位向量的变化量。可以发现 $\Delta \theta \to 0$ 的时候它确实指向圆心。 Read more...