物理学基础：1-2 圆周运动
PS: 斯坦福把这一部分作为第六章，我们则当做第一章第二小节，不得不佩服苏联模式下的学生都是大（gan）佬（di）。
法向加速度 法向加速度是怎么来的？公式又如何推出？
在圆周运动中，我们一直被教以：切向加速度改变速度速度大小，法向加速度改变速度方向。但是后者对我来说很难理解，我花了很长时间才弄明白。下面我们来探究一下。
首先，什么是加速度？加速度是 $\vec{v}$ 对 $t$ 的导数：
$$
\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} \tag{1}
$$
而速度可以表示为 速度大小乘以切向矢量：（切线是 tangent，故有角标 t）
$$
\vec{v}=v\vec{e_t}\tag{2}
$$
带入 (1) 中，可得：
$$
\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} \tag{1}=\frac{\mathrm{d}(v\vec{e_t})}{\mathrm{d}t}
$$
（注意要用链式法则）也即：
$$
\vec{a} = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\vec{e_t} + v\frac{\mathrm{d}\vec{e_t}}{\mathrm{d}t}
$$
加号左边 $\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\vec{e_t}$ 是切向加速度。（带入 $v=\omega r$ 还可得到角加速度）
加号右边 $v\dfrac{\mathrm{d}\vec{e_t}}{\mathrm{d}t}$ 中，$\dfrac{\mathrm{d}\vec{e_t}}{\mathrm{d}t}$ 表示切向单位向量的变化率。什么？单位向量还有变化率？实际上考虑旋转变换，单位向量随时间转圈圈，一个无穷小时间 $\mathrm{d} t$ 内，转过了 $\mathrm{d}\theta$ 度，对比前后的两个向量，确实是产生了一个差向量。把它记作 $\Delta\vec{e_t}$
（注：下面所说的圆都是极限情况的曲率圆，也就是曲线密切圆）
可以看到，当 $\Delta \theta \to 0$ 时，$\Delta e_t \perp e_{t1}$ $\Delta e_t$指向圆心。什么，指向圆心？我们需要换个角度看问题：
箭头那里就是单位向量的变化量。可以发现 $\Delta \theta \to 0$ 的时候它确实指向圆心。
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