过程详情

【例子】关系的矩阵是:

$$ \boldsymbol{W}_{0}=\left[\begin{array}{llll} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right] $$

求传递闭包。

【分析与解答】


我们看第 1 列:$\pmatrix {0\\1\\1\\0}$。

$\pmatrix {\color {red} 0\\1\\1\\0}$ $a_{11}=0$ 跳过。

$\pmatrix {0\\\color {blue} 1\\1\\0}$ $a_{\color {green} 2\color {red} 1}=1$,则 $a_{\color {red} 1}$ 行加到 $a_{\color {green} 2}$ 行:

$$ \boldsymbol{W}=\left[\begin{array}{llll} \color{blue}0 & \color{blue}0 & \color{blue}0 & \color{blue}1 \\ 1+\color{blue}0 & 0+\color{blue}0 & 1+\color{blue}0 & 0+\color{blue}1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right] $$

得到:

$$ \boldsymbol{W}=\left[\begin{array}{llll} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right] $$

$\pmatrix {0\\1\\\color {blue} 1\\0}$,$a_{31} = 1$,则 $a_1$ 行加到 $a_3$ 行,得到:

$$ \boldsymbol{W}=\left[\begin{array}{llll} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right] $$

$\pmatrix {0\\1\\1\\\color {red} 0}$,$a_{41} = 0$,跳过。


接下来是第二列(注意:不是原矩阵的第二列,而是上面处理后最后的矩阵的第二列,下同):

我们看第 2 列:$\pmatrix {0\\0\\0\\0}$。全是零,意味着 $a_{i2}$ 都跳过处理。


我们看第 3 列:$\pmatrix {0\\1\\0\\1}$

注意到 $a_{23} = 1$,则 $a_3$ 行加到 $a_2$ 行,得到:

$$ \boldsymbol{W}=\left[\begin{array}{llll} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right] $$

注意到 $a_{43} = 1$,则 $a_3$ 行加到 $a_4$ 行,得到:

$$ \boldsymbol{W}=\left[\begin{array}{llll} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right] $$

我们看第 4 列:$\pmatrix {1\\1\\1\\1}$

注意到 $a_{14}\sim a_{44} = 1$,也就是 $a_4$ 行依次加到上面各行:

$$ \boldsymbol{W}=\left[\begin{array}{llll} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right] $$
$$ \boldsymbol{W}=\left[\begin{array}{llll} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right] $$
$$ \boldsymbol{W}=\left[\begin{array}{llll} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right] $$
$$ \boldsymbol{W}=\left[\begin{array}{llll} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right] $$

这就是最终正确答案。

例题

【例子】计算传递闭包之于:

$$ \boldsymbol{A}= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} $$

【分析与解答】

按列从左到右,每列按行从上到下扫描:

$(4,1) = 1$,故:

$$ \boldsymbol{T}= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} $$

$(1,2) = 1$,故:

$$ \boldsymbol{T}= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} $$

$(4,2) = 1$,故:

$$ \boldsymbol{T}= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} $$

$(4,3) = 1$,故:

$$ \boldsymbol{T}= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} $$

$(1,4) = 1$,故:

$$ \boldsymbol{T}= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} $$

$(2,4) = 1$,故:

$$ \boldsymbol{T}= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} $$

$(4,4) = 1$,故:

$$ \boldsymbol{T}= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} $$

🦔最终解。