$f\circ g$ 的反函数是 $g^{-1} \circ f^{-1}$

证明:

$$ \begin{aligned} &y=f(g(x)) \\ \Rightarrow &f^{-1}(y)=f^{-1}(f(g(x))\\ \Rightarrow & f^{-1}(y)=g(x) \\ \Rightarrow &\left(y^{-1} \circ f^{-1}\right)(y)=x \end{aligned} $$

利用和 / 差均值证明函数唯一性

一个事实:

$$ \begin{aligned} &s=a+b \\ &d=a-b \\ &\frac{s+d}{2}=a \\ &\frac{s-d}{2}=b \end{aligned} $$

证明函数 $f (x)$ 可以唯一表示为偶函数 $h (x)$ 加奇函数 $g (x)$

思路:$f (x) = h (x)+g (x)$,则 $f (-x) = h (x) - g (x)$,则 $\dfrac {f (x)+f (-x)}{2} = h (x)$,这等于是求出了 $h (x)$ 的解析式,只依赖于 $f$,而 $f$ 给定,所以是 唯一的。同理 $g (x)$ 唯一。