对于函数 $f (x)$ ，当 $x = a+h,a$ 时，输出值存在一个差： $f (a+h)-f (a)$，这个差值可以近似表示为自变量增量乘上斜率，即 $f'(a) h$ ，而与实际的差值是这个增量的高阶无穷小：
$$
f(a+h)-f(a)=f^{\prime}(a) h+o(h)
$$
当 $h \to 0$ 时， $o (h) = 0$ .
线性函数 $f^{\prime}(a) h $ 称作微分，函数的系数 $f^{\prime}(a)$ 称为导数。
只要能找到这样的线性函数， $f$ 在 $a$ 点就是可微的。（理解多元函数的 “可微”）
这里的线性函数并不一定是 $f ([x]) = k [x] + b$ 这样的一元函数直线。也可以是一个面，一个高维面等。如 $f (x,y) = k (x,y) + b$
向量形式：
$$
f(\vec{a}+\vec{h})-f(\vec{a})=L(\vec{h})+o(|\vec{h}|)
$$
线性函数 $L (\vec {h})$ 指的是满足如下两条性质的函数：
$$
\begin{gathered}
L(\overrightarrow{\boldsymbol{a}}+\overrightarrow{\boldsymbol{b}})=L(\overrightarrow{\boldsymbol{a}})+L(\overrightarrow{\boldsymbol{b}}) \\
L(\lambda \overrightarrow{\boldsymbol{a}})=\lambda L(\overrightarrow{\boldsymbol{a}})
\end{gathered}
$$
即线性空间上的函数。此线性函数称为 全微分。此线性函数 $L:\mathbb {R} ^u \to \mathbb {R}^v$ 的系数称为 雅可比矩阵。
取 $\vec {h} = t \vec {e_i}$ ，即沿着某个轴向的向量，令 $t \to 0$ ，可得到偏导数。同理得到各个方向导数。所以可微可以退出各个方向导数存在。令 $\vec {h} \to 0$ 可推出连续。即可微可推出连续。