对于函数 $f (x)$ ,当 $x = a+h,a$ 时,输出值存在一个差: $f (a+h)-f (a)$,这个差值可以近似表示为自变量增量乘上斜率,即 $f'(a) h$ ,而与实际的差值是这个增量的高阶无穷小:

$$ f(a+h)-f(a)=f^{\prime}(a) h+o(h) $$

当 $h \to 0$ 时, $o (h) = 0$ .

线性函数 $f^{\prime}(a) h $ 称作微分,函数的系数 $f^{\prime}(a)$ 称为导数

只要能找到这样的线性函数, $f$ 在 $a$ 点就是可微的。(理解多元函数的 “可微”

向量形式:

$$ f(\vec{a}+\vec{h})-f(\vec{a})=L(\vec{h})+o(|\vec{h}|) $$

线性函数 $L (\vec {h})$ 指的是满足如下两条性质的函数:

$$ \begin{gathered} L(\overrightarrow{\boldsymbol{a}}+\overrightarrow{\boldsymbol{b}})=L(\overrightarrow{\boldsymbol{a}})+L(\overrightarrow{\boldsymbol{b}}) \\ L(\lambda \overrightarrow{\boldsymbol{a}})=\lambda L(\overrightarrow{\boldsymbol{a}}) \end{gathered} $$

即线性空间上的函数。此线性函数称为 全微分。此线性函数 $L:\mathbb {R} ^u \to \mathbb {R}^v$ 的系数称为 雅可比矩阵

取 $\vec {h} = t \vec {e_i}$ ,即沿着某个轴向的向量,令 $t \to 0$ ,可得到偏导数。同理得到各个方向导数。所以可微可以退出各个方向导数存在。令 $\vec {h} \to 0$ 可推出连续。即可微可推出连续。