代数结构:带运算的非空集合。详见本人离散数学结构笔记。

数域:对四则运算封闭的代数结构。

(实数)位置:一个实数数域的向量。

(实数)点: 点是只拥有位置的量。

用实数向量描述点的位置。例如二维点 $[1,2]$ ,三维点 $[1,2,-1]$,一维点 $1$。

实数坐标的(向量)空间:空间是点的所有位置取值构成的集合。又叫线性空间。用 $\mathbb {R} ^n$ 表示一个 $n$ 维的实数坐标空间。

实数坐标空间的任意一个向量可以通过对标准正交基的线性组合得到。

路径:点连续移动过程中,在空间中占据的位置的集合。

标准内积: $\mathbb {x} \cdot \mathbb {y}$ 或者记作 $<\mathbb {x} \cdot \mathbb {y}>$ ,将 $\mathbb {x}$ , $\mathbb {y}$ 向量对应相乘再相加得到。

从几何角度看,点积是两个向量的长度与它们夹角余弦的积

向量的长度: $\|\mathbf {x} \|={\sqrt {<\mathbf {x} ,\mathbf {x} >}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i})^{2}}}$

向量的夹角: $\theta =\cos ^{-1}\left ({\frac {<\mathbf {x} ,\mathbf {y} >}{\|\mathbf {x} \|\|\mathbf {y} \|}}\right)$

向量的欧几里得距离: $d (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}$

欧几里得空间:拥有上述欧氏距离量的空间。

开集:在 $\mathbb {R} ^n$ 中点集是开集,如果在这个集合的所有点 $P$ 都是内部。

开集是开区间概念的泛化,开区间是不包含端点的线段内部区域。二维的开集是一个平面闭合区域的内部。更高维度以此类推。

  • 泛函(functional)指以函数构成的向量空间为定义域,实数为值域为的 “函数”

半范数

type F :Domain; // F 是域
type V = VectorSpace<F>; // V 是 F 的向量空间
function p (v: V>): real; // 半范数

这函数满足:

  • 半正定。即值不能小于零。$p (v)\geq 0$

  • 绝对一次齐次性。即可以把系数绝对值提出去:$p (av)=|a|p (v)$

  • 半可加性。即满足三角不等式:$p (av)=|a|p (v)$

如果还满足正定性,即对于零向量 $\vec {0}$ $p (\vec {0})=0$ 则 p (v)范数(体会一下,就是对长度概念的推广。)

赋范向量空间:拥有范数的向量空间。

0 - 范数:非零分量个数

1 - 范数:绝对值范数:各分量绝对值的和。${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|=\sum _{i}^{n}|x_{i}|}$

2 - 范数:欧几里得范数:${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|_{2}:={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$ 勾股大法!

负无穷范数:最大分量绝对值。

正无穷范数:最小分量绝对值。

p - 范数:$\|\mathbf {x}\|_{p}=\left (\sum_{i=1}^{N}\left|x_{i}\right|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$