级数求和

通过导数关系求和

形如 $\sum_{i=1}^{n} i x^{i-1} x < 1$ 的级数,可以利用导数的性质求和。

注意到 $\sum_{i=0}^{n} x^i = \dfrac {1}{1 - x}$ , 而 $(\sum_{i=0}^{n} x^i)^ \prime = \sum_{i = 0}^{n} i x^{i-1} = \dfrac {1}{(1-x)^2}$

而 $\sum_{i = 0}^{n} i x^{i-1} = \sum_{i = 1}^{n} i x^{i-1} = = \dfrac {1}{(1-x)^2}$

复级数求和

求:$\sum_{n=1}^{\infty} e^{-n}$

这可以看作几何级数。$\sum_{n=1}^{\infty} (e^{-1})^n = \dfrac {e ^{-1}}{1 - e ^{-1} }$