1.1 $\sqrt {2}$ 的不可比性

为何 $\sqrt {2}$ 不是可比数(有理数)?

假设存在 p,q 互质,满足 $(\dfrac {p}{q})^2 = 2$,则 $\color {green}{p^2 = 2q^2}$,则 $p^2$ 是偶数,则 $p$ 是偶数,即可以写成 $p = 2r$ ,则代入 $\color {green}{p^2 = 2q^2}$ 得到 $2r^2 = q^2$,这说明 $q^2$ 是一个偶数,则 $p, q$ 都是偶数,并不互质。假设不成立。 $\square$

$\mathbb {Q} $ 是连续的吗?

对于任何两个可比数 $r < s $ 其中 $ r,s \in \mathbb {Q} $,都可以找到它们在数轴上的中点: $\dfrac {r+s}{2}$。这似乎说明所有可比数都是紧密依靠在一起的。

然而我们可以找到 $\sqrt []{2},\sqrt []{3}$ 这样的 “洞”,不属于 $\mathbb {Q} $

问题的讨论将在后面进行。

1.2 预备知识

集合(set):不等的对象的收集(collection)

集合的运算:交 $\cap $ 、并 $\cup $ 、补 $A^C$ 、差 $\setminus $ 、异或(对称差) $\Delta $

函数: $f:A\to B$ 表示 $f$ 是从集合 $A$ 中元素到集合 $B$ 中元素的对应规则。

自然数集:定义 $\mathbb {N} = \{1, 2, 3, \cdots \}$

绝对值函数

$$ |x|= \begin{cases}x & \text { if } x \geq 0 \\ -x & \text { if } x<0\end{cases} $$

性质:

  1. $\left| ab \right| = \left| a \right| \left| b \right|$
  2. $\left| a+b \right| \leq \left| a \right| + \left| b \right|$ (三角不等式

三角不等式的变体: $|a-b| \leq|a-c|+|c-b|$ ( a 到 b 的距离,小于或等于 a 到 c,b 到 c 的距离之和)

定理(实数相等):实数 $a, b$ 相等 $\iff $ $\forall \varepsilon > 0 \Rightarrow |a-b| \leq \varepsilon $

即,a 到 b 的距离小于一切实数,则 a 就是 b

证明 (P9):充分性( $\Rightarrow$ )是显然的。必要性( $\Leftarrow $ )可以通过假定 $a \neq b$ 反证。

$S = \mathbb {N} $ :若 $1 \in S$ 并且 $S$ 满足:只要 $n \in S$ ,则 $n+1 \in S$ 。那么 $S = \mathbb {N} $

1.3 完备性公理

^423ee5

到底什么是实数?

定义:完备性公理(Axiom of Completeness):所有 实数的非空有界集合,若有上界,则必有一个最小上界。

定义:上(确)界、下(确)界

$s$ 是 $A \subseteq \mathbb {R} $ 的最小上界(LUB, $s = \sup A$ )的条件:

  1. $s$ 是 $A$ 的一个上界
  2. 并且对于任何 $A$ 的上界 $b$ , $s \leq b$

上界:简言之,大于等于 $S$ 集合中最大数 的数,都是那个 $S$ 集合的上界。

各上界构成一个 上界集合 $U$ ,$U$ 集合中的最小值称为 $S$ 的最小上界(Least Upper Bound)。

同理有下界和最大下界(Greatest Lower Bounds)。

开区间有没有上下确界? 根据定义,并没有限制确界必须存在于集合中。所以有。

集合的最大最小值定义:略。

引理: 设 $s$ 是 $A$ 的上界之一。( $s, A \in \mathbb {R} $ )。则 $s = \sup A \iff \forall \varepsilon > 0, \exists a \in A \text {s.t.} s - \varepsilon < a$

说人话就是,$s$ 是 $A$ 的上确界,当且仅当 任何小于 $s$ 的数 $s - \varepsilon$ 都不属于 A. 换言之不存在更小的上界了。

1.4 完备性的推论

完备性说明了实数无 “缝”

定理:嵌套区间定理(Nested Interval Property):设区间 $I_{n}=\left [a_{n}, b_{n}\right]=\left\{x \in \mathbf {R}: a_{n} \leq x \leq b_{n}\right\}$,且 $I_n \supseteq I_{n+1}$ ,则 $\bigcap_{n=1}^{\infty} I_{n} \neq \emptyset$

$\mathbb {Q} $ 在 $\mathbb {R} $ 的稠密性

性质:阿基米德性质(Archimedean Property)

  1. $\forall x \in \mathbb{R}, \exists n \in \mathbb{N} \text{ s.t. } n > x$
  2. $\forall y > 0, \exists n \text {s.t.} \frac {1}{n}< y$ 其中 $y \in \mathbb {R} , n \in \mathbb {N} $

任何实数中间都夹着一个可比数:

$\mathbb {Q} $ 在 $\mathbb {R} $ 的稠密性(Density) $\forall a < b, \exists r \text {s.t.} a < r < b$ 其中 $a, b \in \mathbb {R}$ , $r \in \mathbb {Q} $

证明:

考虑 $0 \leq a < b$ 的情况。则我们需要找到 $m,n \text {s.t.} a < \dfrac {m}{n} < b$ 其中 $m,n \in \mathbb {N} $。此式可推出 $an < m < bn$

而 $0 \leq a < b$ 说明 $\dfrac {1}{b-a} > 0$ ,则 $\exists n \in \mathbb {N} \text {s.t.} n > \dfrac {1}{b-a}$ 这样我们就找到了 n.

然后我们看 $m$ 怎么找。$m$ 应该是大于 $an$ 的最小自然数,这样有: $m-1 \leq na < m$ 而 $m-1 \leq na $ 可推出 $m < nb$

于是 $m,n$ 都满足了。 $\square$

这说明 $\mathbb {Q} $ 在 $\mathbb {R} $ 中是稠密的。

推论:给定任何实数 $a<b$ ,都有不可比数 $t$ 满足 $a < t < b$

分析:根据 $\mathbb {Q} $ 在 $\mathbb {R} $ 的稠密性 定理,必然存在可比数 $q \text {s.t.} a + \sqrt []{2} < q < b + \sqrt []{2}$ ,则 $\exists t = q - \sqrt []{2} \text {s.t.} a < t < b$

此处使用了一个前提:可比数减去不可比数结果是不可比数。证明如下:

(矛盾法)设立前提: $x$ 是一个不可比数, 假定:$\dfrac {m}{n}$ 是可比数,定义为 $\dfrac {m}{n} = x + \dfrac {p}{q} $ 其中 $p, q \in \mathbb {Z} $ ,则显然 $x = \dfrac {m}{n} - \dfrac {p}{q}$ 是一个可比数,矛盾。因此 $\dfrac {m}{n}$ 是不可比数。

你凭什么说平方根存在?

定理: $\exists a \in R \text {s.t.} a^2 = 2$

证明:设 $T = \{t \in \mathbb {R} : t^2 < 2\}$ ,设 $\alpha = \sup T$,根据 [[第 1 章 实数 #^423ee5]] 。由于实数之间只存在 $> , = , <$ 三种关系,只要排除 $\alpha ^2 < 2, \alpha ^2 > 2$ ,我们就能说 $\alpha ^2 = 2$