随机变量

随机变量是一个从样本空间到实数的函数

输入:一个样本点 输出:一个实数

至于随机变量的值含义,则完全是人根据需要设置的。比如可以规定为两个骰子点数的和,点数的积,乃至点数对应的上星期某一天有没有下雨。

离散随机变量:如果随机变量的输出能够被一一列举,则这种随机变量是离散的。

我们把离散型随机变量(的输出)作为键,把这个输出的概率作为值,则可以得到随机变量的分布律 $P \{X = x_i\}$。

分布函数:

$$ F(x) = P \{X \leq x\}, x \in \mathbb{R} $$

通过分布函数,可以求 $X$ 在任意区间取值的概率:

$$ \begin{aligned} P\left\{x_{1}<X \leqslant x_{2}\right\} &=P\left\{X \leqslant x_{2}\right\}-P\left\{X \leqslant x_{1}\right\} \\ &=F\left(x_{0}\right)-F\left(x_{1}\right) . \end{aligned} $$

0-1 分布

伯努利试验 二项分布

Poisson 分布

$E(X) = \lambda$

$E(X^2) = \lambda + \lambda^2$

$Var(X) = \lambda$

PMF

$$ P(X=i)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^i}{i!} $$

在二项分布的伯努利试验中,如果试验次数 n 很大,二项分布的概率 p 很小,且乘积 λ= np 比较适中,则事件出现的次数的概率可以用泊松分布来逼近。

二项分布(Binomial distribution)

记号:$X\sim b (n,p)$

试验次数n和成功概率 p

PMF:

$$ {\displaystyle P(X=k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}}。 $$