«概率论»笔记

事件 随机试验（experiment）：一个可以无限重复、结果集已知、试验前结果不可预测的试验。 进行一百次投硬币，每次投掷是一次随机试验。 可以认为随机试验是一段代码，执行这个代码产生的结果不可预测，但结果构成了一个集合（样本空间）。并且我们可以无限重复运行这段代码，统计结果中蕴含的规律。 样本空间（sample space）：运行随机试验程序，所产生的各种可能输出构成的集合。 样本点：随机试验的实例化，一次随机试验的结果。 随机事件（event）：样本空间的一种子集。 事件发生：如果随机试验产生的样本点位于随机事件中，则此事件发生。 如果运行投骰子程序，样本空间为 $[1, 6] \in \mathbb {Z}$，则我们可以选取 $A = \{1,2\}$ 作为一个随机事件。如果有一次运行结果是 $1$，则事件 A 发生了。 必然事件：样本空间自身。 不可能事件：空集。 请始终记住，事件是集合 事件关系 相等事件：事件的互包含。 和事件：事件的并。 积事件：事件的交。 差事件：事件的差。 互斥事件：事件的不相交。 逆事件（对立事件）：两事件构成样本空间的一个划分。 频率、概率 频数（frequency）：事件发生次数。 注：和物理学不一样，物理学的 frequency 是单位时间的频数。 事件 A 发生的频率，又称经验概率，相对频率，试验概率（empirical probability, relative frequency, or experimental probability）： $n$ 次试验中事件 A 的频数。 概率函数：实函数 $P: \Omega \to R$，且满足三条件：函数值非负、规范（$f (\Omega) = 1$），互斥事件相和的概率等于互斥事件的概率相加。 事件 A 的概率：概率函数作用于 A 上的值 $P (A)$

随机变量 随机变量是一个从样本空间到实数的函数。 输入：一个样本点 输出：一个实数 至于随机变量的值含义，则完全是人根据需要设置的。比如可以规定为两个骰子点数的和，点数的积，乃至点数对应的上星期某一天有没有下雨。 离散随机变量：如果随机变量的输出能够被一一列举，则这种随机变量是离散的。 离散和连续并不是非此即彼的关系，比如说不离散的函数照样可以是不连续（间断的）。 通常函数的离散指的是定义域。而随机变量函数的离散指的是值。 随机变量的函数仍为随机变量。比如我们用 X 表示投出的点数，则 Y = 2X 表示投出的点数的二倍，随机变量 Y 是关于随机变量 X 的函数，Y 自己还是一个随机变量。 我们把离散型随机变量（的输出）作为键，把这个输出的概率作为值，则可以得到随机变量的分布律 $P \{X = x_i\}$。 分布函数： $$ F(x) = P \{X \leq x\}, x \in \mathbb{R} $$ 通过分布函数，可以求 $X$ 在任意区间取值的概率： $$ \begin{aligned} P\left\{x_{1}<X \leqslant x_{2}\right\} &=P\left\{X \leqslant x_{2}\right\}-P\left\{X \leqslant x_{1}\right\} \\ &=F\left(x_{0}\right)-F\left(x_{1}\right) . \end{aligned} $$ 0-1 分布

略

期望：

Hypothesis Testing 本文参考： 梨米特考研数学 https://www.bilibili.com/video/BV1D741147G5 宋浩 https://www.bilibili.com/video/BV1ot411y7mU 概率论与数理统计（浙江大学）https://www.bilibili.com/video/BV1vW41147Uw?p=78 得出 $\mu \in [3.2252, 3.2788]$ （2）设 $H_0: \mu = 3.25; H_1: \mu \ne 3.25$ 由于 $\sigma^2$ 未知，所以用 T 分布。设检验统计量为 $t = \dfrac {|\overline {X} - \mu|}{s/\sqrt {n}}\sim t (n-1)$ 拒绝域为区间的两外侧 $|t|\geqslant t_{\alpha/2}(n-1)$，查表得知： $t_{0.005}(4) = 4.6041$，而 $|t| = \dfrac {3.252 - 3.25}{0.013/2.23}=0.343 < 4.604$，可以接受 $H_0$，认为均值为 $\mu = 3.25$

感谢宋浩！ 务必记住以下前置结论（单正态总体的抽样分布）： $$ <br /> \overline{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})\\<br /> \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1)<br /> $$ $$ <br /> \frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim t(n-1)<br /> $$ $$ <br /> \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)<br /> $$ （推导过程见宋浩） 下面尽量记住： $$ <br /> E(S^2) = \sigma^2\\<br /> D(S^2) = \frac{2\sigma^4}{n-1}<br /> $$ 令为 0，可以发现，搞不出来。 观察 $L$ 函数，可以发现 $|b-a|$ 越小，函数值越大，同时要涵盖样本值。

题型部分为了提高效率就直接在卷子上标记了，还没来得及整理过来。 参考资料 https://www.zybuluo.com/catscarf/note/971426 https://bookdown.org/yifei/book/probability.html 感谢高中同学曹盛为我提供了他的手写笔记！