Little 公式

$\lambda_{e}$ 为顾客到达系统中速率的平均值,则在很宽的条件下有:

$W=\dfrac{L}{\lambda_{e}}, W_{q}=\dfrac{L_{q}}{\lambda_{e}},$

$M / M / 1 / \infty / \infty / F C F S$ 系统中,顾客到达的速率是常数 $\lambda,$$\lambda_{e}=\lambda,$ 因此:

$W=\dfrac {L}{\lambda}, W_{q}=\dfrac {L_{q}}{\lambda},$ 称为利特尔公式.

例题

【例子】服务台全天服务,假设顾客到达的时间间隔服从均值为 1 的负指数分布。现在有一位顾客正好中午 12:00 到达,试求:

(1)下一个顾客将在下午 1:00 前到达的概率;

(2)在下午 1:00 与 2:00 之间到达的概率:

(3)在下午 2:00 以后到达的概率。

【分析与解答】

(1)由已知,t 时间至少有一个顾客到达的概率是 $F_T (t) = 1 - e^{-t}$,当 $t = 1$$P = 1-e^{-1} = 0.6321$,所以概率是 $63.21\%$.

(2)在 2:00 内到达的概率是 $1-e^{-2} = 0.8646$$0.8646 - 0.6321 = 0.2325$,即 $23.25\%$

(3)在 2:00 内到达的概率是 $0.8646$,则之后才到达的概率是 $1 - 0.8646 = 0.1354 = 13.54\%$.

【例子】小汽车过收费站,到达速率 100 $h^{-1}$,泊松流,检查一辆车 $15s$,为负指数分布,求稳态概率 $p_0, p_1, p_2$ 和系统的各项指标。

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