对于 $\tau (p\_1 p\_2 \dots p_n)$ 的情形(其中 pn 为列标),可以理解为按行顺序选,符号由列的逆序数奇偶性决定。同理另一种情形,可以理解为按列顺序选,符号由行的逆序数奇偶性决定。

那么我们选择同样的几个数,其对应项的值应该是相同的(否则将会矛盾),因此有:

$\sum(-1)^{\tau(p\_1 p\_2 \dots p_n)}{a_{1p_1}a_{2p_2}\dots a_{np\_n}} = \sum(-1)^{\tau(q\_1 q_2 \dots q_n)}{a_{q_1 1}a_{q_2 2}\dots a_{q_n n}}$

而由于相乘的数只是表示不同,数仍相同,因此值是否相等,取决于 $(-1)^{\tau (p\_1 p\_2 \dots p\_n)}$ 和 $ (-1)^{\tau (q\_1 q\_2 \dots q\_n)}$ 是否相等。

而之前说过,对应项的值相同,因此上面两个的值相等,也即奇偶性相同。