把 $A,B$ 看作两个列向量组,那么运算 $A+B$ 表示的是向量的批量对应叠加.

考虑 $A=\begin {pmatrix} 1\ 2\ 0\end {pmatrix},B=\begin {pmatrix} 2\ 3\ 0\end {pmatrix}$ 把它们相加,或者各放缩 (乘以 $k$) 后叠加,无论如何都不可能出来一个 $z$ 值不是 $0$ 的向量,向量叠加不会增加维度. 但是,向量相加却会减少维度,考虑 $-2A+B = -2\begin {pmatrix} 1\ 2\ 3\end {pmatrix}+\begin {pmatrix} 2\ 3\ 4\end {pmatrix}=\begin {pmatrix} 0\ -1\ -2\end {pmatrix}$, 看到了吗,结果的 $x$ 值变成了 $0$, 也就是说这导致叠加后的维度减少 $1$. 所以这个定理就是:

向量相加,维度不增加