类型 1, A 换 $\lambda$ 对应次方,E 换 1

为什么我们老师不教?每次都用 $AX=\lambda X$ 推,坑比啊!最后还是自己发现了这个方法.

若 $A^2=E$, 则 $A$ 的特征值为 $±1$.

$$ A^2 - E = 0\\lambda^2-1=0\\lambda\_1=1,\lambda\_2=-1 $$

$A^{2}-A-2 E=0$, 求 $\lambda$

$$ \lambda^2-\lambda-2=0\\Rightarrow \lambda\_1 = -1, \lambda\_2 = 2 $$
  • 已知 $A^2=E$, 正惯性指数 $p$ 求 $|2E-A|$

解 $\lambda^2=1$, 得到 $\lambda\_1 = 1, \lambda\_2 = -1$. $|2E-A|$ 的特征值就是 $2-\lambda$ , 也就是 $1,3$, 分别对应 $+/-$, 所以 $|2E-A|= 对角积 = 1^p3^{n-p}=3^{n-p}$

  • 对二阶矩阵 A, $A \alpha_{1}=0, A \alpha_{2}=2 \alpha_{1}+\alpha_{2}$ 求特征值.

根据定义,以及 $A \alpha_{1}=0$, 显然一个特征值是 0

凑 $A (2 \alpha_{1}+\alpha_{2}) = 2A \alpha_{1}+A\alpha_{2} = A\alpha_2 = 1 (2 \alpha_{1}+\alpha_{2})$ 因此另一个特征值就是 1.

  • $\alpha, A \alpha, A^{2} \alpha$ 构成的行列式不为零 A 是三阶方阵,$A^{3} \alpha=4 \alpha+4 A \alpha-A^{2} \alpha$ 求特征值和 $|A^\star+3E|$
  1. 把三个列向量看作一个整体,直接解方程 $\lambda^3= 4+4\lambda-\lambda^2\Rightarrow (\lambda-2)(\lambda+1)(\lambda+2)=0$ 就得到了特征值.