矩阵等价,合同,相似的关系

矩阵的等价(只有秩相同),合同(秩和正负惯性指数相同),相似(秩,正负惯性指数,特征值均相同)

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等价关系的性质

  1. 自反性
  2. 对称性
  3. 传递性

等价,合同,相似描述的都是两个矩阵之间的关系,且都是 集合上的等价关系. 约束程度递增.

如何判断等价 (等价矩阵)

  1. 其中一者能够经过若干次初等行或列变换变成另一者。
  2. 它们有相同的秩。

如何判断合同

定义:

有可逆矩阵 $P$,使得 $A=P^{{\mathrm {T}}} BP$

  1. 等价是合同的必要条件
  2. 正惯性指数相等是合同的必要条件

西尔维斯特惯性定理

在实数域中,一个形如 $a_{11} x_1^2+a_{12} x_1x_2+a_{13} x_1x_3+…+a_{nn} x\_n^2$ 的二次型通过线性变换可以化简成惟一的标准型 $y\_1^2+y_2^2+…+y_p^2-y_{p+1}^2-….-y_r^2$。其中的正项数(称为正惯性系数)、负项数(称为负惯性系数)以及 0 的数目惟一确定,其中的 $r$ 为系数矩阵的秩。正惯性系数 $p$-负惯性系数 $ (r-p) $ 的值 $ (2p-r) $ 称作符号差

如何判断相似

充分必要条件: A_与_B_为相似矩阵当且仅当存在一个_n_×_n_的可逆矩阵_P,使得:$P^{-1} AP = B$

相似的矩阵是同一个线性变换在不同基的表现,因此具有性质

  1. 秩相等
  2. 行列式相等
  3. 迹相等
  4. 特征值相等
  5. 特征多项式相等

例子:下面哪个和 $A=\left (\begin {array}{lll}{1} & {0} & {0} \ {0} & {1} & {0} \ {0} & {0} & {2}\end {array}\right)$ 相似

A. $\left(\begin{array}{lll}{1} & {1} & {0} \ {0} & {2} & {1} \ {0} & {0} & {1}\end{array}\right)$

$\mathrm{B} .\left(\begin{array}{lll}{1} & {1} & {0} \ {0} & {1} & {0} \ {0} & {0} & {2}\end{array}\right)$

$C \cdot\left(\begin{array}{lll}{1} & {0} & {1} \ {0} & {1} & {0} \ {0} & {0} & {2}\end{array}\right)$

D. $\left(\begin{array}{lll}{1} & {0} & {1} \ {0} & {2} & {1} \ {0} & {0} & {1}\end{array}\right)$

这题一看,特征值都相等,分别是 1 1 2. 重特征值是 1. 那么带入这个特征值,得到的矩阵是

$A-\lambda E=\left (\begin {array}{lll}{0} & {0} & {0} \ {0} & {0} & {0} \ {0} & {0} & {1}\end {array}\right)$, 秩为 1. 检验四个选项 $r (A-\lambda E)$ 只有 C 也是 1, 所以选 C.