初等行变换的几何意义

$\left(\begin{array}{ccc}{1} & {-1} & {1} \ {2} & {1} & {-1} \ {-2} & {-1} & {1}\end{array}\right) \Rightarrow\left(\begin{array}{ccc}{1} & {-1} & {1} \ {0} & {3} & {-3} \ {0} & {-3} & {3}\end{array}\right) \Rightarrow\left(\begin{array}{ccc}{1} & {-1} & {1} \ {0} & {1} & {-1} \ {0} & {0} & {0}\end{array}\right)$

上述初等行变换的的过程:

image-20191226214703835.png

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最后,所有向量都划入了平面中

再看这一个行最简化变换

$\left(\begin{array}{ccc}{1} & {-1} & {1} \ {2} & {1} & {-1} \ {2} & {1} & {0}\end{array}\right)\Rightarrow\left(\begin{array}{ccc}{1} & {-1} & {1} \ {0} & {3} & {-3} \ {0} & {3} & {-2}\end{array}\right) \Rightarrow\left(\begin{array}{ccc}{1} & {-1} & {1} \ {0} & {1} & {-1} \ {0} & {0} & {1}\end{array}\right)$

其变化的最终结果

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利用初等行变换作行最简化,是尽可能地把向量组归入低维度的变换

我们会看到,上图中 $u$ 向量被完全嵌入了 $x$ 轴 (红色轴), $u,v$ 向量被完全嵌入了 $xOy$ 平面.

这也解释了为什么行最简化变换能够求出秩—— 当所有向量都尽可能归入低维度的时候,向量组中维度最高的向量,它的维度就是向量组的维度,即秩.