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«线性代数»笔记

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线性代数:矩阵等价,合同,相似的关系
linear-algebra-matrix-equivalent-contract-a-similar-relationship
2019
December 23
矩阵等价,合同,相似的关系 矩阵的等价(只有秩相同),合同(秩和正负惯性指数相同),相似(秩,正负惯性指数,特征值均相同) https://zhidao.baidu.com/question/1180268603257128659.html 等价关系的性质 自反性 对称性 传递性 等价,合同,相似描述的都是两个矩阵之间的关系,且都是 集合上的等价关系. 约束程度递增. 如何判断等价 (等价矩阵) 其中一者能够经过若干次初等行或列变换变成另一者。 它们有相同的秩。 如何判断合同 定义: 有可逆矩阵 $P$,使得 $A=P^{{\mathrm {T}}} BP$ 等价是合同的必要条件 正惯性指数相等是合同的必要条件 西尔维斯特惯性定理 在实数域中,一个形如 $a_{11} x_1^2+a_{12} x_1x_2+a_{13} x_1x_3+…+a_{nn} x\_n^2$ 的二次型通过线性变换可以化简成惟一的标准型 $y\_1^2+y_2^2+…+y_p^2-y_{p+1}^2-….-y_r^2$。其中的正项数(称为正惯性系数)、负项数(称为负惯性系数)以及 0 的数目惟一确定,其中的 $r$ 为系数矩阵的秩。正惯性系数 $p$-负惯性系数 $ (r-p) $ 的值 $ (2p-r) $ 称作符号差。 如何判断相似 充分必要条件: A_与_B_为相似矩阵当且仅当存在一个_n_×_n_的可逆矩阵_P,使得:$P^{-1} AP = B$ 相似的矩阵是同一个线性变换在不同基的表现,因此具有性质 秩相等 行列式相等 迹相等 特征值相等 特征多项式相等 例子:下面哪个和 $A=\left (\begin {array}{lll}{1} & {0} & {0} \ {0} & {1} & {0} \ {0} & {0} & {2}\end {array}\right)$ 相似
线性代数:八大类型行列式及其解法 (补充)
linear-algebra-eight-types-of-determinant-and-its-solution
2019
December 16
来源: https://zhuanlan.zhihu.com/p/34685081 我加了一些例子,可以更好地掌握方法而不必记忆公式。 本文记录了八大常见类型的行列式及其解法,解法从一般性到特殊性都有,分享给大家,例子都特别经典好用,希望对线代、高代初学者以及考研党有用。 类型总览: 箭型行列式 两三角型行列式 两条线型行列式 范德蒙德型行列式 $Hessenberg$ 型行列式 三对角型行列式 各行元素和相等型行列式 相邻两行对应元素相差 K 倍型行列式 方法总览: 拆行法 升阶法 方程组法 累加消点法 累加法 递推法(特征方程法) 步步差法 零。补充内容 对角线为 0, 其余为 x 的行列式 请看下例: 求值 $det\begin {pmatrix} 0&1&1&1\\ \:1&0&1&1\\ \:1&1&0&1\\ \:1&1&1&0\end {pmatrix}$ $$ <br /> \begin {align}<br /> &det\begin {pmatrix} 0&1&1&1\\ \:1&0&1&1\\ \:1&1&0&1\\ \:1&1&1&0\end {pmatrix}\\<br /> 其余各列加到第 1 列 \\<br /> &=det\begin {pmatrix} 3&1&1&1\\ \:3&0&1&1\\ \:3&1&0&1\\ \:3&1&1&0\end {pmatrix}\\<br /> 其余各行减去第 1 行 \\<br /> &=det\begin {pmatrix} 3&1&1&1\\ \:0&-1&0&0\\ \:0&0&-1&0\\ \:0&0&0&-1\end {pmatrix}\\<br /> &=-3<br /> \end {align}<br /> $$ 一般情况:
线性代数:排列数的三个性质证明的解释
linear-algebra-arrangement-number-three-properties-of-proof-explanation
2019
September 11
对排列进行一次对换则改变其奇偶性。 设排列:$18365472$,稍作分割:$183\ 6|5\ 472$。交换 $65$,不影响 $183$ 的逆序数(因为根据逆序数的计算方法,只需要针对排列的每个数,和其前面的数字进行比较,而 1 的前面没有数字了,所以逆序数不变)。也不影响 $472$ 的逆序数(因为前面的数字无论怎么改变顺序,都是 $18365$ 这几个数的组合)。这样交换一次之后,对于 5 来说,它来到了 6 的前面,导致整个排列的逆序数减少 1 。这样,对于任何两个相邻数的交换,都导致整个排列的逆序数减少 1。现在考虑对换任何两个数,比如 8 和 6,那么首先对换 8 和 3: $1\textbf{83}65472 \rightarrow 1\textbf{38}65472$ 然后对换 8 和 6: $ 13\textbf{86}5472\rightarrow 13\textbf{68}5472$ 最后对换 8 和 3: $ 1\textbf{38}65472\rightarrow 1\textbf{83}65472$ 经过三次相邻对换,实现了间隔 1 的两个数的对换。 推而广之,间隔 $ n$ 的两个数的对换,首先要从左往右换 $n+1$ 次,然后再从右往左换 $n$ 次,总共换了 $2n+1$ 次。(可看下图理解) 其中 2n 次对换后奇偶性恢复,最后一次对换后,奇偶性改变,因此 “对排列进行一次对换则改变其奇偶性” 为真。于是可以整理得到书上的证明。 奇排列调成自然排列的对换次数为奇数,偶排列调成自然排列的对换次数为偶数 这里很好理解。假设我们有一个自然排列,那么我们每对其对换一次,就会改变其一次奇偶性。最初自然排列是偶排列($ 因为 \tau = 0$),对换 $2n - 1$ 次之后,其为奇排列,对换 $2n $ 次之后,其为偶排列。这个过程的逆过程就是命题所说的过程,所以也成立。