«线性代数»笔记

为了避免反复抄表，减少抄写错误；避免分数运算，提高运算准确率，应付考试，发明此法. 操作示范 求通解 $\left{\begin{array}{c}{x_{1}+x_{2}-6 x_{3}-4 x_{4}=-1} \ {3 x_{1}-x_{2}-6 x_{3}-4 x_{4}=9} \ {2 x_{1}+3 x_{2}+9 x_{3}+2 x_{4}=7} \ {2 x_{1}-3 x_{2}-21 x_{3}-10 x_{4}=1}\end{array}\right.$ 解: 首先去除第四行，显然是由前三行以 $1:1:-1$ 凑出来的，是无效行. 对于 $\left{\begin{array}{l}{x_{1}+x_{2}-6 x_{3}-4 x_{4}=-1} \ {3 x_{1}-x_{2}-6 x_{3}-4 x_{4}=9} \ {2 x_{1}+3 x_{2}+9 x_{3}+2 x_{4}=7}\end{array}\right.$ 计算过程如下 1 1 -6 -4 -1 3 -1 -6 -4 9 2 3 9 2 7 // 对于上面，用第 1 行减去第 2 行，得到新行 -2 2 0 0 -10 放在下面. // 同时把 1 或 2 行中的更复杂一行做 x 标记，表示弃用: 1 1 -6 -4 -1 x 3 -1 -6 -4 9 2 3 9 2 7 -2 2 0 0 -10 // 对于上面：末两行作差，得到新行放在下面.

$A=\left (\begin {array}{lll}{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \\ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}\end {array}\right)$ P 为初等方阵。若 $P A=\left (\begin {array}{ccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} \\ {2 a_{11}+a_{21}} & {2 a_{12}+a_{22}} & {2 a_{13}+a_{23}} \\ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}\end {array}\right)$ 则 $AP$ 为？ 这里极易认为只要交换行列就行了，所以答案是 $$ <br /> \left(\begin{array}{lll}<br /> {a_{11}} & {a_{12}+2a_{11}} & {a_{13}} \\<br /> {a_{21}} & {a_{22}+2a_{21}} & {a_{23}} \\<br /> {a_{31}} & {a_{32}+2a_{31}} & {a_{33}}<br /> \end{array}\right)<br /> $$ 这样的做法错了.

在 初等方阵 一文中，我们研究了各种初等方阵，而矩阵就是线性变换，初等方阵的逆矩阵就是线性变换的逆变换。 有这样的性质： 对矩阵 $A$ 左乘变换 $T=\begin {pmatrix} 1&0&0\ 0&1&0\ 0&2&1\end {pmatrix}$, 注意到 $T$ 的三行二列位置是 2, 表示把 $A$ 矩阵的第三行加上 2 倍的第二行. 用程序设计的想法可以表达为: $Line\_{3}'=Line\_3+2Line_2$ 对 A 求逆得到其逆变换: $$ T^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\ 0&1&0\ 0&2&1\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\ 0&1&0\ 0&-2&1\end{pmatrix} $$ 注意到 $T^{-1}$ 的三行二列位置是 -2, 表示把 $A$ 矩阵的第三行减去 2 倍的第二行. 用程序设计的想法可以表达为: $Line_3 = Line_{3}' - 2Line_2 $ 对照这两句话: 把 $A$ 矩阵的第三行加上 2 倍的第二行. 把 $A$ 矩阵的第三行减去 2 倍的第二行. 这两句话从逻辑上正表达了这种逆变换. 实际上，我们求初等方阵的逆矩阵，根本不必进行代数计算，直接根据变换的含义写出能 “变回去” 的初等方阵即可.

把 $A,B$ 看作两个列向量组，那么运算 $A+B$ 表示的是向量的批量对应叠加. 考虑 $A=\begin {pmatrix} 1\ 2\ 0\end {pmatrix},B=\begin {pmatrix} 2\ 3\ 0\end {pmatrix}$ 把它们相加，或者各放缩 (乘以 $k$) 后叠加，无论如何都不可能出来一个 $z$ 值不是 $0$ 的向量，向量叠加不会增加维度. 但是，向量相加却会减少维度，考虑 $-2A+B = -2\begin {pmatrix} 1\ 2\ 3\end {pmatrix}+\begin {pmatrix} 2\ 3\ 4\end {pmatrix}=\begin {pmatrix} 0\ -1\ -2\end {pmatrix}$, 看到了吗，结果的 $x$ 值变成了 $0$, 也就是说这导致叠加后的维度减少 $1$. 所以这个定理就是: 向量相加，维度不增加

我们从同济课本的一个例题入手: 求解方程组 $\left{\begin{array}{r}{x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}+x_{4}=0} \ {2 x_{1}+x_{2}-2 x_{3}-2 x_{4}=0} \ {x_{1}-x_{2}-4 x_{3}-3 x_{4}=0}\end{array}\right.$ 系数矩阵 $A=\left (\begin {array}{rrrr}{1} & {2} & {2} & {1} \ {2} & {1} & {-2} & {-2} \ {1} & {-1} & {-4} & {-3}\ {0} & {0} & {0} & {0}\end {array}\right)$ (当然，最后一行常常不写) 原方程组可以记作 $AX=B$, 此处 $B=O, X=[x\_1\dots x\_4]^T$ 我们可以看作对 $A$ 施加一个线性变换 $X$, 使得向量组 $A$ 变换为 0 维向量组 (原点). 也可以看作对向量 $X$ 施加一个线性变换 $A$, 使得向量 $X$ 变换为 0 维向量组 (原点).

初等行变换的几何意义 $\left(\begin{array}{ccc}{1} & {-1} & {1} \ {2} & {1} & {-1} \ {-2} & {-1} & {1}\end{array}\right) \Rightarrow\left(\begin{array}{ccc}{1} & {-1} & {1} \ {0} & {3} & {-3} \ {0} & {-3} & {3}\end{array}\right) \Rightarrow\left(\begin{array}{ccc}{1} & {-1} & {1} \ {0} & {1} & {-1} \ {0} & {0} & {0}\end{array}\right)$ 上述初等行变换的的过程: 最后，所有向量都划入了平面中 再看这一个行最简化变换 $\left(\begin{array}{ccc}{1} & {-1} & {1} \ {2} & {1} & {-1} \ {2} & {1} & {0}\end{array}\right)\Rightarrow\left(\begin{array}{ccc}{1} & {-1} & {1} \ {0} & {3} & {-3} \ {0} & {3} & {-2}\end{array}\right) \Rightarrow\left(\begin{array}{ccc}{1} & {-1} & {1} \ {0} & {1} & {-1} \ {0} & {0} & {1}\end{array}\right)$

正交矩阵的定义: $AA^T =0$ 那么 $A$ 是正交矩阵. 性质: 逆等于转置 行列式等于 $\pm1$ 其转置，逆，伴随矩阵都是正交矩阵 有限个正交矩阵的乘积一定是正交矩阵 (充要条件) 所有行（列）向量都是正交单位向量组 它的定义表明，每行每列的平方和都是 1, 它的任意两行之间，任意两列之间的内积都是 0, 它的 X 列乘以它的转置的非 X 行的积是 0 求正交矩阵 $P$ 使得 $P$ 的第一行为 $\alpha_{1}=\frac {1}{2}(1,1,1,1)$ 根据正交矩阵的性质，它的任意两行之间的内积是 0, 不妨设任意一行为 $\alpha = (x\_1, x\_2, x\_3, x\_4)$ 那么 $\alpha \cdot \alpha_1 = 0$ 推出 $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0$ 把 $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0$ 看作一个齐次线性方程组. $\left{x\_1 = -x\_2-x\_3-x\_4\right.$ 分别令 $\left[\begin{array}{c}{x_{2}} \ {x_{3}} \ {x_{4}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}{1} \ {0} \ {0}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}{0} \ {1} \ {0}\end{array}\right] ,\left[\begin{array}{c}{0} \ {0} \ {1}\end{array}\right]$

求非齐次线性方程组的通解 $\left{\begin{array}{c}{x_{1}+x_{4}+2 x_{5}=1} \ {x_{1}+2 x_{3}+3 x_{4}+2 x_{5}=3} \ {4 x_{1}+5 x_{2}+3 x_{3}+2 x_{4}+3 x_{5}=2} \ {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=1}\end{array}\right.$ 解: 行阶梯化: $\left[\begin{matrix}{1} & {0} & {0} & {1} & {2} & {1} \ {1} & {0} & {2} & {3} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {3} & {2} & {3} & {2} \ {1} & {1} & {1} & {1} & {1} & {1}\end{matrix}\right] \Rightarrow\left[\begin{array}{cccccc}{1} & {0} & {0} & {1} & {2} & {1} \ {0} & {0} & {2} & {2} & {0} & {2} \ {0} & {5} & {3} & {-2} & {-5} & {-2} \ {0} & {1} & {1} & {0} & {-1} & {0}\end{array}\right]$

例子: $\alpha_{1}=(1,1,2,3), \alpha_{2}=(1,3,6,1), \alpha_{3}=(3,-1, a, 15)$ $\alpha_{4}=(1,-5,-10,12)$ $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 线性相关 求 $a$ 求 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 的一个极大无关组，并用来表示其余向量. $\left|\begin{array}{cccc}{1} & {1} & {3} & {1} \ {1} & {3} & {-1} & {-5} \ {2} & {6} & {a} & {-10} \ {3} & {1} & {15} & {12}\end{array}\right| \Rightarrow\left|\begin{array}{cccc}{1} & {1} & {3} & {1} \ {0} & {2} & {-4} & {6} \ {0} & {4} & {a-6} & {-12} \ {0} & {-2} & {6} & {9}\end{array}\right|$ $\Rightarrow 2\left(\begin{array}{cccc}{1} & {1} & {3} & {1} \ {0} & {1} & {-2} & {3} \ {0} & {4} & {a-6} & {-12} \ {0} & {0} & {2} & {3}\end{array}\right)$

矩阵等价，合同，相似的关系 矩阵的等价（只有秩相同），合同（秩和正负惯性指数相同），相似（秩，正负惯性指数，特征值均相同） https://zhidao.baidu.com/question/1180268603257128659.html 等价关系的性质 自反性 对称性 传递性 等价，合同，相似描述的都是两个矩阵之间的关系，且都是 集合上的等价关系. 约束程度递增. 如何判断等价 (等价矩阵) 其中一者能够经过若干次初等行或列变换变成另一者。 它们有相同的秩。 如何判断合同 定义: 有可逆矩阵 $P$，使得 $A=P^{{\mathrm {T}}} BP$ 等价是合同的必要条件 正惯性指数相等是合同的必要条件 西尔维斯特惯性定理 在实数域中，一个形如 $a_{11} x_1^2+a_{12} x_1x_2+a_{13} x_1x_3+…+a_{nn} x\_n^2$ 的二次型通过线性变换可以化简成惟一的标准型 $y\_1^2+y_2^2+…+y_p^2-y_{p+1}^2-….-y_r^2$。其中的正项数（称为正惯性系数）、负项数（称为负惯性系数）以及 0 的数目惟一确定，其中的 $r$ 为系数矩阵的秩。正惯性系数 $p$－负惯性系数 $ (r-p) $ 的值 $ (2p-r) $ 称作符号差。 如何判断相似 充分必要条件: A_与_B_为相似矩阵当且仅当存在一个_n_×_n_的可逆矩阵_P，使得：$P^{-1} AP = B$ 相似的矩阵是同一个线性变换在不同基的表现，因此具有性质 秩相等 行列式相等 迹相等 特征值相等 特征多项式相等 例子：下面哪个和 $A=\left (\begin {array}{lll}{1} & {0} & {0} \ {0} & {1} & {0} \ {0} & {0} & {2}\end {array}\right)$ 相似

来源: https://zhuanlan.zhihu.com/p/34685081 我加了一些例子，可以更好地掌握方法而不必记忆公式。 本文记录了八大常见类型的行列式及其解法，解法从一般性到特殊性都有，分享给大家，例子都特别经典好用，希望对线代、高代初学者以及考研党有用。 类型总览： 箭型行列式 两三角型行列式 两条线型行列式 范德蒙德型行列式 $Hessenberg$ 型行列式 三对角型行列式 各行元素和相等型行列式 相邻两行对应元素相差 K 倍型行列式 方法总览： 拆行法 升阶法 方程组法 累加消点法 累加法 递推法（特征方程法） 步步差法 零。补充内容 对角线为 0, 其余为 x 的行列式 请看下例: 求值 $det\begin {pmatrix} 0&1&1&1\\ \:1&0&1&1\\ \:1&1&0&1\\ \:1&1&1&0\end {pmatrix}$ $$ <br /> \begin {align}<br /> &det\begin {pmatrix} 0&1&1&1\\ \:1&0&1&1\\ \:1&1&0&1\\ \:1&1&1&0\end {pmatrix}\\<br /> 其余各列加到第 1 列 \\<br /> &=det\begin {pmatrix} 3&1&1&1\\ \:3&0&1&1\\ \:3&1&0&1\\ \:3&1&1&0\end {pmatrix}\\<br /> 其余各行减去第 1 行 \\<br /> &=det\begin {pmatrix} 3&1&1&1\\ \:0&-1&0&0\\ \:0&0&-1&0\\ \:0&0&0&-1\end {pmatrix}\\<br /> &=-3<br /> \end {align}<br /> $$ 一般情况:

其实很简单。交换之后，每个求和项的逆序数会发生一次变化，从而导致该项的正负号发生一次变化，整体上看就是每个球和项的正负号都发生了一次变化，提出这个正负号，也即行列式的正负号发生一次变化。

$D\_n = \sum (-1)^{\tau (p\_1 p\_2 \dots p\_n)+\tau (q\_1 q\_2 \dots q_n)}{a_{p_1 q_1} a_{p_2 q_2}\dots a_{p\_n q\_n}}$ 的证明 不妨任选一组求和项 $Item\_1 = (-1)^{\tau(p\_1 p\_2 \dots p\_n)+\tau(q\_1 q\_2 \dots q_n)}{a_{p_1 q_1}a_{p_2 q_2}\dots a_{p\_n q\_n}}$ 各个元素按行重新选取，使之成为 $(-1)^{\tau(p\_1 p\_2 \dots p_n)}{a_{1p_1}a_{2p_2}\dots a_{np_n}}$ 。根据推论 1，假设 Item_1 的行标排列原本为奇排列，列标排列为偶或偶排列，则经过了奇数次排序，其行标排列成为变成与原来相反的排列（自然排列），列标排列变成与原来相反的排列。对于行标排列，相当于 $(-1)^{\tau (1 2 \dots n)} = 1$，新的符号与原来相反。对于列标排列，新的符号与原来相反。由于行列符号都与原来相反，所以新的符号（整体乘积）与原来相同，从而： $D\_n = \sum(-1)^{\tau(p\_1 p\_2 \dots p\_n)+\tau(q\_1 q\_2 \dots q_n)}{a_{p_1 q_1}a_{p_2 q_2}\dots a_{p\_n q\_n}}$ 等价于 $D\_n = \sum(-1)^{\tau(p\_1 p_2 \dots p_n)}{a_{1p_1}a_{2p_2}\dots a_{np_n}}$

对于 $\tau (p\_1 p\_2 \dots p_n)$ 的情形（其中 pn 为列标），可以理解为按行顺序选，符号由列的逆序数奇偶性决定。同理另一种情形，可以理解为按列顺序选，符号由行的逆序数奇偶性决定。 那么我们选择同样的几个数，其对应项的值应该是相同的（否则将会矛盾），因此有： $\sum(-1)^{\tau(p\_1 p\_2 \dots p_n)}{a_{1p_1}a_{2p_2}\dots a_{np\_n}} = \sum(-1)^{\tau(q\_1 q_2 \dots q_n)}{a_{q_1 1}a_{q_2 2}\dots a_{q_n n}}$ 而由于相乘的数只是表示不同，数仍相同，因此值是否相等，取决于 $(-1)^{\tau (p\_1 p\_2 \dots p\_n)}$ 和 $ (-1)^{\tau (q\_1 q\_2 \dots q\_n)}$ 是否相等。 而之前说过，对应项的值相同，因此上面两个的值相等，也即奇偶性相同。

对排列进行一次对换则改变其奇偶性。 设排列：$18365472$，稍作分割：$183\ 6|5\ 472$。交换 $65$，不影响 $183$ 的逆序数（因为根据逆序数的计算方法，只需要针对排列的每个数，和其前面的数字进行比较，而 1 的前面没有数字了，所以逆序数不变）。也不影响 $472$ 的逆序数（因为前面的数字无论怎么改变顺序，都是 $18365$ 这几个数的组合）。这样交换一次之后，对于 5 来说，它来到了 6 的前面，导致整个排列的逆序数减少 1 。这样，对于任何两个相邻数的交换，都导致整个排列的逆序数减少 1。现在考虑对换任何两个数，比如 8 和 6，那么首先对换 8 和 3： $1\textbf{83}65472 \rightarrow 1\textbf{38}65472$ 然后对换 8 和 6： $ 13\textbf{86}5472\rightarrow 13\textbf{68}5472$ 最后对换 8 和 3： $ 1\textbf{38}65472\rightarrow 1\textbf{83}65472$ 经过三次相邻对换，实现了间隔 1 的两个数的对换。 推而广之，间隔 $ n$ 的两个数的对换，首先要从左往右换 $n+1$ 次，然后再从右往左换 $n$ 次，总共换了 $2n+1$ 次。（可看下图理解） 其中 2n 次对换后奇偶性恢复，最后一次对换后，奇偶性改变，因此 “对排列进行一次对换则改变其奇偶性” 为真。于是可以整理得到书上的证明。 奇排列调成自然排列的对换次数为奇数，偶排列调成自然排列的对换次数为偶数 这里很好理解。假设我们有一个自然排列，那么我们每对其对换一次，就会改变其一次奇偶性。最初自然排列是偶排列（$ 因为 \tau = 0$），对换 $2n - 1$ 次之后，其为奇排列，对换 $2n $ 次之后，其为偶排列。这个过程的逆过程就是命题所说的过程，所以也成立。

类型 1, A 换 $\lambda$ 对应次方，E 换 1 为什么我们老师不教？每次都用 $AX=\lambda X$ 推，坑比啊！最后还是自己发现了这个方法. 若 $A^2=E$, 则 $A$ 的特征值为 $±1$. $$ A^2 - E = 0\\lambda^2-1=0\\lambda\_1=1,\lambda\_2=-1 $$ $A^{2}-A-2 E=0$, 求 $\lambda$ 解 $$ \lambda^2-\lambda-2=0\\Rightarrow \lambda\_1 = -1, \lambda\_2 = 2 $$ 已知 $A^2=E$, 正惯性指数 $p$ 求 $|2E-A|$ 解 $\lambda^2=1$, 得到 $\lambda\_1 = 1, \lambda\_2 = -1$. $|2E-A|$ 的特征值就是 $2-\lambda$ , 也就是 $1,3$, 分别对应 $+/-$, 所以 $|2E-A|= 对角积 = 1^p3^{n-p}=3^{n-p}$