不一致连续就是会戳上天的连续(逃)

定义和我的理解

一致连续的定义可表述为:如果对任意的 $\epsilon > 0$,存在 $\delta>0$ 使得对任意兩點 $|x-y|< \delta$,都有 $|f (x)-f (y)|<\epsilon$,则稱函數 $f$ 在 $X$ 上一致连续。

我的理解:如果说 $f (x)$ 在某区间一致连续,那么 $f (x)$ 在该区间一定连续,同时:$f'(x)$ 有界,或该区间为闭区间。

例子

下图是 $y=x^2$ 图像,我们任取一个闭区间,会发现其斜率有界,也就是一致连续。我们让 $x\to\infin$,这时斜率无界,因此不一致连续。

–5–5–5–4–4–4–3–3–3–2–2–2–1–1–1111222333444555–3–3–3–2–2–2–1–1–1111222333444555000fff

下图是 $y=\sqrt {x}$ 图像,我们取 $[0,1]$ 区间,会发现斜率在 $x\to0$ 时无界,但是 $y$ 在 $[0,1]$ 连续,因此它一致连续。

–5–5–5–4–4–4–3–3–3–2–2–2–1–1–1111222333444555–3–3–3–2–2–2–1–1–1111222333444555000fff

证明

闭区间连续必一致连续

设 $[a,b]$ 是 $\R$ 上的闭区间,且 $f (x)$ 是 $[a,b]$ 上的连续函数,则 $f (x)$ 在 $[a,b]$ 上一致连续.

证明思路:假设不一致连续,任取区间 $[a,b]$ 内的两个子列,根据 “极限存在的充要条件”(单调有界数列收敛,且收敛于上确界)。 可知 $\lim\_{n\to\infty}(a\_n-b_n)=0$,而有界数列必有收敛子列(根据波尔查诺 - 维尔斯特拉斯定理 ),因此对两个子列分别映射到函数值之后的差取极限一定等于零($\lim_{n\to\infty}(f (a\_n)-f (b\_n))=0$),就与单调有界的定义(都有 $|f (x)-f (y)|<\epsilon$)矛盾。

导数有界必一致连续

同样如上题设两个子列,由中值定理可知:

$$ \begin{align_} |\frac{f(a\_n)-f(b\_n)}{a\_n-b\_n}|\leq M \end{align_} $$

也就是说两个子列都有界,于是后面和上题一模一样,不多废话。


然而上面的证明只是证明了必要,还不充分,姑且这么用着,我也不是数学家。