要复习的科目太多了,感觉自己要凉凉。

基础知识

计算原理

$$ \begin{array}{l} \iiint_{\Omega} f(x, y, z)\mathrm{d}v \\ =\int_{c}^{d}\mathrm{d}y \int_{x_1(y)}^{x_{2}(y)}\mathrm{d}x \int_{z_{1}(x, y)}^{z_{2}(x, y)} f(x, y, z)\mathrm{d}z \end{array} $$

穿线法

【例子】 计算 $\iiint_{\Omega} y\mathrm {d} v,$ 其中 $\Omega$ 是由三个坐标平面及平面 $x+2 y+z=1$ 围成的立体。

【分析与解答】 我们使用先一后二的方法。用一根线穿过 $xOy$ 平面,通过线能够存在的范围推出 $x,y$ 的取值范围:

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根据平面的表达式,也可以推出 $z$ 的取值范围:$0 \leq z \leq 1 - x -2y$

$$ \begin{array}{l} =\int_{0}^{1}\mathrm{d}x \int_{0}^{\frac{1-x}{2}}\mathrm{d}y \int_{0}^{1-x-2 y}\mathrm{d}z \\ =\left.\int_{0}^{1}\mathrm{d}x \int_{0}^{\frac{1-x}{2}}\mathrm{d}y \quad y z\right|_{z=0} ^{z = 1-x-2 y} \\ =\int_{0}^{1}\mathrm{d}x \int_{0}^{\frac{1-x}{2}}\left(y-x y-2 y^{2}\right)\mathrm{d}y\\ =\int_{0}^{1}\mathrm{d}x \frac{y^{2}}{2}-\frac{x y}{2}-\frac{2 y 3}{3} |_{y=0}^{ y=\frac{1-x}{2}}\\ =\int_{0}^{1}\left(\frac{1-x}{2}\right)^{2}-\frac{x}{2}\left(\frac{1-x}{2}\right)-\frac{2}{3}\left(\frac{1-x}{2}\right)^{3}\mathrm{d}x \\ =\frac{1}{96} \end{array} $$

截面法

【例子】 计算 $\iiint_{\Omega} z \mathrm {d} x \mathrm {d} y \mathrm {d} z,$ 其中 $\Omega$ 是由 $z=x^{2}+y^{2}$ 和 $z=1$ 围成的区域。

把整个区域投影到 $xOy$ 平面,可写出范围:

$$ \left\{\begin{array}{c} -1 \leqslant x \leqslant 1 \\ -\sqrt{1-x^{2}} \leqslant y \leqslant \sqrt{1-x^{2}} \end{array}\right. $$

积分表达式:

$$ \int_{-1}^{1} d x \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} d y \int_{x^{2}+y^{2}}^1 d z $$

柱面法

【例子】

$$ \iiint_{\Omega} x^{2}+y^{2} d v $$

其中 $\Omega$ 是由 $z=\sqrt {2-x^{2}-y^{2}}$ 和 $z=x^{2}+y^{2}$ 所围成的立体。

【分析与解答】

首先求投影。联立两个方程,可以推出:$x^2+y^2 = 1$ 所以投影区域是 $x^2+y^2 \leq 1$ 以及 $z = 0$

$xOy$ 穿线,可以发现 z 的范围是 $[x^2+y^2, \sqrt []{2-x^2-y^2}]$

$$ \int_{D x O y} d x d y \int_{x^{2}+y^{2}}^{\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}} x^{2}+y^{2} d z $$

极坐标换元,得到

$$ \int_{0}^{2 \pi} d \theta \int_{0}^{1} r d r \int_{r^{2}}^{\sqrt{2-r^{2}} }p^{2} d z $$

此为柱面坐标的积分表达式。

【例子】

求底半径为 $ a $ 且高为 $ h $ 的匀匀圆体关于中心轴的转动惯量 (设密度为 $\rho $) .

【分析与解答】

转动惯量的表达式为:

$$ I_{z}=\iiint_{\Omega }\left(x^{2}+y^{2}\right) \mu(x, y, z) \mathrm{d} v $$

对于本题:

$$ I_{z} = \iiint_{\Omega }\left(x^{2}+y^{2}\right) \rho \mathrm{d} v $$

也即

$$ \begin{align} & \rho \int_{0}^{2 \pi }\mathrm{d}\theta \int_{0}^{a} r \mathrm{d}r \int_{0}^{h}r^2 \mathrm{d}z\\ &= \rho \int_{0}^{2 \pi }\mathrm{d}\theta \int_{0}^{a} r \mathrm{d}r r^2h\\ &= \rho \int_{0}^{2 \pi }\mathrm{d}\theta \int_{0}^{a} r^3h \mathrm{d}r \\ &= \rho \int_{0}^{2 \pi }\mathrm{d}\theta \frac{a^4}{4}h\\ &= \rho 2 \pi \frac{a^4}{4}h\\ &= \rho \pi \frac{a^4}{2}h \end{align} $$

【例子】

求底半径为 $ a $ 且高为 $ h $ 的匀匀圆锥体关于中心轴的转动惯量 (设密度为 $\rho $) .

【分析与解答】

转动惯量的表达式为:

$$ I_{z}=\iiint_{\Omega }\left(x^{2}+y^{2}\right) \mu(x, y, z) \mathrm{d} v $$

对于本题:

$$ I_{z} = \iiint_{\Omega }\left(x^{2}+y^{2}\right) \rho \mathrm{d} v $$

也即

$$ \begin{align} & 2 \pi \rho \int_{0}^{a} r \mathrm{d}r \int_{r \frac{h}{a}}^{h} r^2 \mathrm{d}z\\ &= 2 \pi \rho \int_{0}^{a} r \mathrm{d}r (r^2h - r^3 \frac{h}{a})\\ &= 2 \pi \rho \int_{0}^{a} r^3h - r^4 \frac{h}{a} \mathrm{d}r\\ &= 2 \pi \rho( \frac{a^4}{4}h - \frac{a^5}{a}h)\\ &= \frac{\pi \rho a^4h}{10} \end{align} $$

]

球面法

球面坐标点用 $M (r ,\theta, \varphi)$ 表示,$ \theta $ 是径矢与 $ x $ 轴的夹角。 $\varphi $ 是径矢与 $z$ 轴的夹角。

则:

$$ \left\{\begin{array}{l} x=r \cdot \cos \theta=p \sin \varphi \cos \theta \\ y=r \cdot \sin \theta=p \sin \varphi \sin \theta \\ z=r \cdot \cos \varphi \end{array}\right. $$

【例子】 计算三重积分 $I=\iiint_{\Omega}\left (x^{2}+y^{2}\right) d v,$ 其中 $\Omega$ 是 $x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0$ 与 $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4$ 的公共部分。

【分析与解答】

$$ \begin{aligned} V &=\int_{0}^{\pi} d \theta \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \varphi d \varphi \int_{0}^{2} r^{2} \sin ^{2} \varphi r^{2} d r \\ &=\int_{0}^{\pi} d \theta \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{3} \varphi d \varphi \int_{0}^{2} r^{4} d r \\ &=\left.\frac{\pi}{2} \cdot\left(\frac{\cos ^{3} p}{3}-\cos \varphi\right)\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}} \cdot \frac{2^{5}}{5} \\ &=\frac{16}{5} \pi \cdot\left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{32}{15} \pi \end{aligned} $$

对称法

【例子】 计算 $\iiint_{\Omega}^{} (x+z) \mathrm {d} v$,$\Omega $ 是 $z = \sqrt []{x^2 + y^2}$ 和 $z = \sqrt []{1 - x^2 - y^2}$ 所围成的区域。

【分析与解答】 可以分为 $\iiint_{\Omega}^{} x \mathrm {d} v$ 和 $\iiint_{\Omega}^{} z \mathrm {d} v$ 两部分求解。

$f (x,y,z) = - f (x,y,z)$ 它是关于 $x$ 的奇函数,所以 $\iiint_{\Omega}^{} x \mathrm {d} v= 0 $ 后略。