唯一性

定理 若数列 ${x_n}$ 收敛,则其极限唯一。

假设 ${x_n}$ 收敛,且有两个不相等的极限 $a,b$.

不妨设 $a<b$,则由极限的定义,对 $\varepsilon = {b-a\over2}>0$,存在 $N\in \Z^+$,使得 $n>N$ 时成立:

$$ |x_n - a| < \varepsilon $$
$$ |x_n - b| < \varepsilon $$

两式相加,得到:

$$ |b-a| = |x\_n-a|+|x\_n-b| \tag{a} $$

然后由三角不等式(两边之和大于两边之差):

$$ |x\_n-a|+|x\_n-b| \geqslant |(x\_n-a) - (x\_n-b)| = |b-a| $$

取等的条件是 $x_n = a = b$,但是由题意,$a\ne b$,因此:

$$ |x\_n-a|+|x\_n-b| > |b-a| $$

将其带入 $(a)$,得到:

$|b-a|>|b-a|$

矛盾,所以假设不成立,定理得证。

有界性

定理 数列收敛必有界。

分析:有界的意思就是数列的所有值都小于或大于某个值。换言之,数列套上绝对值之后,它的最大值也小于某个值。我们只要找一个这样的 “某个值”,证明数列一定小于这个值,即可。

假设 $\lim\limits\_{n\to\infty} x\_n = a$(假设数列收敛于 $a$),那么根据数列极限的定义,对 $\varepsilon =1$(这里取 1 只是图个方便,其实取任意大于 0 的数都行),存在 $N\in \Z^+$,使得当 $n>N$ 时,成立 $|x_n -a | <1$,即(打开绝对值):

$$ a-1 < x_n < a+1 $$

令 $M = max {|x\_1|, |x\_2|, \dots,|x_N|, |a-1|,|a+1|}$

则对一切 $n\in \Z^+$,成立 $|x\_n|\leqslant M$,即 $ {x\_n}$ 有界。

有界性的意义

它说明只要是有极限的,你逼近极限的过程中就不能乱跑,一定会小于一个值。如下图:$f (x) = ({6\over5})^{x-2\pi} 2sin (x),(x>0)$ 趋近于 0,它在趋近的过程中小于定值 6.

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设 $\lim\limits_{n\to\infty} a_n =a, \lim\limits_{n\to\infty} b_n = 0 $,证明 $\lim\limits_{n\to\infty}[a\_n] b\_n = 0$.

分析:我们能够运用的工具有:极限的定义,数列极限的性质(唯一性,有界性)。要证明上式,根据定义就是证明:$\forall \varepsilon > 0$,存在 $N\in \Z^+$,使得当 $n>N$ 时,成立 $ |[a\_n] b\_n - 0 | <\varepsilon$,而根据有界性,$|a\_n| < M$,因此 $|[a\_n] b\_n|<(M+1)|b\_n|$,而 $b_n<\varepsilon'$,综合可得:

$$ |[a\_n]b\_n|<(M+1)|b_n|<(M+1)\varepsilon' $$

因此得证。

保序性

定理 设 $\lim\limits_{n\to\infty} a_n = a, \lim\limits_{n\to\infty} b\_n = b$. 若自某项起,$a\_n\leqslant b_n$,则必有 $a\leqslant b$.

设 $K \in \Z^+, n\geqslant K$ 时 $a\_n \leqslant b\_n$。下证 $a\leqslant b$.

反证法:假设 $a > b$,则对 $\varepsilon = {a -b \over 2} > 0$,存在 $N \in \Z^+$,使得 $n>N$ 时同时成立:

$$ \begin{align} &|a_n - a | < \varepsilon \ &|b_n - b | < \varepsilon \end{align} $$

分别带入 $\varepsilon$ 并打开绝对值,可以得到:

$$ a_n > {a+b\over 2} \ b_n < {a+b\over 2} $$

也即:

$$ a\_n > b\_n $$

当 $n>max {K,N}$ 时,上式成立的同时,$b\_n \leqslant a\_n$(题给),矛盾。因此假设不成立,定理得证。

说明

  1. 不必从第一项起就满足 $a\_n \leqslant b\_n$
  2. 若将条件中的 $a\_n \leqslant b\_n$ 改为 $ a\_n < b\_n $, 则结论仍然是 $a \leqslant b$ , 不是 $a < b$.
  3. 定理的逆否命题:设 $\lim\limits_{n\to\infty} a_n = a, \lim\limits_{n\to\infty} b\_n = b$. 若有 $a>b$,则自某项起,成立 $a\_n>b_n$
  4. 若同时改变条件和结论中不等号的方向,命题仍成立 .

迫敛性

迫敛定理 设 $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = \lim\limits_{n\to\infty} y\_n = \alpha$,若自某项起,$x\_n \leqslant z_n \leqslant y_n$,则必有 $\lim\limits_{x\to\infty} z_n = \alpha$.

:设 $K \in \Z^+$,$N\geqslant K$ 时 $x\_n \leqslant z\_n \leqslant y_n$, 下证 $\lim\limits_{x\to\infty} z_n = \alpha$.

$\forall \varepsilon > 0$,由已知,$\exists N\_1 \in \Z ^+$, 使得 $n>N\_1$ 时成立:

$$ \alpha - \varepsilon < x_n < \alpha + \varepsilon \ \alpha - \varepsilon < y_n < \alpha + \varepsilon \ $$

取 $N = max {K, N1}$, 则 $n>N$ 时成立

$$ \alpha - \varepsilon < x\_n \leqslant z\_n \leqslant y_n < \alpha + \varepsilon \ $$

因此 $\lim\limits_{x\to\infty} z_n = \alpha$,定理得证。

四则运算性质

设:$\lim\limits_{n\to\infty} a_n = a, \lim\limits_{n\to\infty} b_n = b$ 则有:

$$ \begin{align} & \lim\limits_{n\to\infty}(a\_n+b\_n) = a + b \tag1 \

&\lim\limits_{n\to\infty}(a_n b_n) = ab \tag2 \end{align} $$

证明:

$\forall \varepsilon > 0$,由已知,$\exists N \in \Z ^+$, 使得 $n>N $ 时成立:

$$ |a_n - a| < \varepsilon \ |b_n - b| < \varepsilon \ $$

两式相加有:$|a\_n - a| + |b\_n - b|< 2\varepsilon = \varepsilon'$,而

$$ |(a\_n+b\_n) - (a+b)| = |(a\_n - a) + (b\_n - b)| < |a\_n - a| + |b\_n - b|< \varepsilon' $$

因此 $(1)$ 得证。

另外,

$$ \begin{align} |a\_nb\_n - ab| &= |a\_nb\_n - ab\_n + ab\_n - ab|\ &\leqslant |a\_nb\_n - ab\_n| + |ab\_n - ab|\ &=| b\_n | | a\_n − a | + | a | | b_n − b |\ &<( | b_n | + | a | ) \varepsilon \end{align} $$

而 $|b_n|$ 收敛,因此 $(2)$ 得证。