求渐近线，可以依据以下结论：
若极限 $\lim\limits_{x \to \infty} \frac {f (x)}{x}=a$ 存在，且极限 $\lim_{x \to + \infty} \left [f \left (x \right) -ax \right]=b$ 也存在，那么曲线 $y=f \left (x \right)$ 具有渐近线 $y=ax+b$。
—— 维基百科
$$
\begin{align}
a &= \lim_{x\to\infin} \ln\left(e+\frac{1}{x}\right) = 1\
b &= \lim_{x\to\infin} x\left[\ln\left(e+\frac{1}{x}\right) -1\right]\
&= \lim_{x\to\infin} x\ln\left(1+\frac{1}{ex}\right)\
&=\lim_{x\to\infin} \ln\left(1+\frac{1}{ex}\right)^{ex\frac{1}{e}}\
&=\frac{1}{e}
\end{align}
$$
因此渐近线方程为：
$$
y = x + \frac{1}{e}
$$