此为笔记,不求极致的严谨,只求易理解.

公理、概念与记号

实数 (Real Number) 集公理:设 $\R$ 是实数集,则 $\R$ 具有以下性质:

  1. 有序性
  2. 无界性
  3. 稠密性
  4. 连续性

更严谨的说法见: [https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9E%E6%95%B0](https://zh.wikipedia.org/wiki/ 实数)

区间 (Interval)

高中说过,不详述.

邻域 (Neighbourhood)

设 $\delta \in \R^+$, 则称开区间$(a-\delta,a+\delta)$ 为 $a$ 的邻域。记作 $U (a,\delta)$.

邻域中心: $a$, 邻域半径: $\delta$.

去心邻域 (Punctured Neighbourhood)

去心邻域是邻域去除邻域中心得到的集合。记作 $U^o (a,\delta)$

左右邻域

左邻域: $(a-\delta, a)$ 记作 $U_-(a, \delta)$

右邻域: $(a, a + \delta)$ 记作 $U_+(a, \delta)$

符号函数和取整函数

符号函数能够取出参数的符号

$$ sgn(x)= \begin{cases} -1 & x < 0 \\ 0 & x = 0 \\ 1 & x > 0 \end{cases} $$

取整函数相当于强制类型转换,输出小于等于输入值的最大的正数.

记号: $f (x) = [x]$, $R_f = \Z$. ($R_{function}$ 表示 function 的值域)

存在和全称量词

存在用 $\exists$ 表示,对于所有用 $\forall$ 表示.

上界和下界

描述

S:= 非空数集。若 ($\exists \alpha\in \R$ && ($\forall x\in S, x\leq \alpha$)) 则称 S 有上界,$\alpha$ 是 S 的一个上界.

即:存在一个数 $\alpha$, 这个数大于等于 $S$ 中每个数,则 $\alpha$ 为 $S$ 上界.

同理:存在一个数 $\alpha$, 这个数小于等于 $S$ 中每个数,则 $\alpha$ 为 $S$ 界.

例子

S:=[1,2], 则 2 为其上界,3 为其上界,1 不为其上界,1.5 不为其上界.

证明 已知 $S=\{x|x = sin (t), t\in (1,2)\}$, 证明 $S$ 有上界.

  1. 找出 $\alpha$
    1. 令 $\alpha = 2$
  2. 证明 $\alpha$ 大于等于 $S$ 里任何数
    1. $sin(t)\leq 1 \Rightarrow \forall x \in S, x \leq 1$
    2. $x\leq 1, 1<2 \Rightarrow x < 2$
    3. $x < 2 , \alpha = 2 \Rightarrow x \leq \alpha$
  3. 据定义: ($\exists \alpha =2\in \R$ && ($\forall x\in S, x\leq \alpha = 2$) 2 为 S 的一个上界.
  4. 因此,S 有上界.

有界集

S \in 非空数集
if (S 有上界 &&S 有下界)
	S 是有界集
else
	S 是无界集

或者,等价定义:

S \in 非空数集
if (\exists M, M>0 使得:
	对于所有 x \in S: |x|\leq M)
	S 是有界集
else
	S 是无界集

等价定义的解释例子:

S:=[-5,2], 存在 M, 比如 M:=10, 使得从 S 中任选一个 x, 都由 | x|<=10. 那么 S 有界.

换个说法:现有非空数集 S, 把 S 的所有数字去掉正负符号,得到 | S|, 如果能有一个数字 M, 能括住 S 的所有值,那么 S 有界.

确界

S 是非空数集,若满足:

  1. $\alpha$ 是 $S$ 的上界
  2. $\forall\beta < \alpha$
  3. $(\exists x_0 \in S )\wedge (x_0 > \beta)$

则,$\alpha$ 是 $S$ 的上确界 (sup).

想象一条数轴:

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那么作为上界的 $\alpha$ (条件 1) 可以有非常广泛的取值

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我们选出一个作为代表

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小于这个代表的地方都可以取 $\beta$(条件 2)

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我们同样取一个作为代表.

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同理从 S 中 选一个代表 $x_0$, 并且让它大于 $\beta$ 的代表

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由于 $\beta$ 的值可以在它的范围任取,我们让 $\beta$ 接近 $\alpha$ 会发生什么呢?

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$x_0$ 也不得不向右走,以确保大于 $\beta$, 但是 $\beta$ 是终究要过那条红线的。因此我们这个 $\alpha$ 的代表就不能上确界。除非 $\alpha$ 和红线重合。这样无论 $\beta$ 怎样靠近,$(\exists x_0 \in S)\wedge (x_0 > \beta)$ 恒成立 (条件 3).

这就是为什么上确界要这么定义的原因。也因此,上确界等价于最小的上界.

这里写这么详细是记叙一个理解思路,以后就会略过了哦.

证明的思路

上确界等价于最小的上界, 或者说:如果有一个数是 S 的上确界,那么所有上界大于等于这个数,它的逆否命题是:

如果有一个上界小于这个数,那么这个数不是 S 的上确界.

因此我们只要证明任何比给定值小的都不是上界即可证明给定值是上确界.

例题

设 $S= (1, 2)$, 证明 $supS = 2$

思路:先说明给定值是上界,然后证明小于 2 的任何数都不是上界,就印证了 2 是上确界.

我们回忆上界的定义: ($\exists \alpha\in \R$ && ($\forall x\in S, x\leq \alpha$)) 即大于集合内的任意值。那么要证明 val 不是上界,只要证明集合内存在值 valInSet s.t. valInSet > val.

证明:

  1. 说明给定值是上界:$\forall x \in S, 有 x \leq 2$, 因此 2 是 S 的一个上界.
  2. 证明小于 2 (注意:这里的 2 不是集合右端的 2, 而是作为上界的 2) 的任何数都不是上界. $\forall a \in (1,2)$, 则 $a<2$, 而 ${a+2\over {2}} \in (1,2)$ , 因此 a 不是 S 的上界.(这里是取了 a 和 2 的中点,然后证明中点大于 a 的同时属于集合,就说明了 a 不是上界)

因此 supS = 2.

确界原理

实数集的任何非空子集 S, 如果有上 (下) 界,则必有实数的上 (下) 确界.

练习

若有 $S = [1,2)$ 证明 $inf S = 1$

证明:

首先证明 1 是下界. $\forall x \in S, x \geq 1 $ 成立,因此 1 是下确界.

然后证明比 1 大的都不是下界。取 $x_0\in S$, 则 $x_0\geq 1$ 成立,取 $a = {1+x_0\over 2}$, 则 $a\leq x_0$ 的同时 $a \in S$ , 因此 $x_0$ 不是下界。因此 1 是下确界.