题型

计算全微分

【例子】 求 $z = e^{\frac {y}{x}+ \frac {x}{y}}$ 的 全微分。

解:

$$ \begin{align} d z &=e^{\frac{y}{x}+\frac{x}{y}} d\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right) \\ &=e^{\frac{y}{x}+\frac{x}{y}} \cdot\left(\frac{x d y-y d x}{x^{2}}+\frac{y d x-x d y}{y^{2}}\right) \\ &=e^{\frac{y}{x}+\frac{x}{y}} \cdot\left[\left(\frac{1}{x}-\frac{x}{y^{2}}\right) d y+\left(\frac{1}{y}-\frac{y}{x^{2}}\right) d x\right] \end{align} $$

判断多元函数连续性

【例子】 二元函数

$$ f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x y}{x^{2}+y^{2}} & (x, y) \neq(0,0) \\0 & (x, y)=(0,0)\end{array}\right. $$

在原点连续吗?偏导数存在吗?

解:

令 $y = kx$ 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac {x y}{x^{2}+y^{2}}=\frac {k x^{2}}{k^{2}\left (x^{2}+1\right)}=\frac {1}{k}$ ,所以不连续。

通过判断个方向的极限是否相同,进而可以判断极限是否存在

$$ \begin{aligned} f'x(0,0)&=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(0+\Delta x, 0)-f(0,0)}{\Delta x} \\ &=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(\Delta x, 0)}{\Delta x}=0 \end{aligned} $$

$fyx (0,0)$ 同理。因此,偏导数存在。

判断偏导数是否存在,用定义即可。

偏导存在和连续有关系吗?

在一元函数中,可导一定连续。连续不一定可导(比如锯齿波)。

但是在二元函数中, 偏导存在和连续没有必然联系 。比如

$$ f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}} & (x, y) \neq(0,0) \\ 0 & (x, y)=(0,0) \end{array}\right. $$

在原点不连续但是偏导数存在。比如 $z = \left| x \right| + \left| y \right| $ 在原点连续但是偏导数不存在。

求曲面的切线、切面、法线等

【例子】 曲线 $\left\{\begin {array}{cc} z &= \sqrt []{1+x^2 + y^2}\\x &= 1\end {array}\right.$ 在点 $(1,1, \sqrt []{3})$ 处的切线与 $y$ 轴的夹角为?

解:

$$ \tan \beta=\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(1,1, \sqrt{3})}=\left.2 y \cdot \frac{1}{2}\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\right|_{(1,1, \sqrt{3})}=\frac{\sqrt{3}}{3} $$

夹角为 $\frac {\pi}{6}$

与轴的夹角的问题,求偏导便可得到斜率的函数。然后带入点即可。

【例子】 求曲线 $x = a \cos t, y = a \sin t, z = b t$ 在 $(-a, 0, b \pi)$ 的切线方程。

首先可以通过点解出 $t_0 = \pi $。

然后分别将 $x,y,z$ 对 $t$ 求导,得到 $x' = -a \sin t$, $ y' = a \cos t$, $z’ = b$ 。带入 $t_0$ ,得到方向向量 $(0, -a, b)$ ,所以切线方程为

$$ \frac{x-x\left(t_{0}\right)}{0}=\frac{y-y\left(t_{0}\right)}{-a}=\frac{z-z\left(t_{0}\right)}{b} $$

i.e.

$$ \frac{x+a}{0}=\frac{y}{-a}=\frac{z-b \pi}{b} $$

为什么对参数方程分别求导可以得到方向向量?想象参数方程分别是三个方向的分位移,求导之后得到三个方向的分速度,合成之后自然就是和速度 —— 指向合成方向的向量。

求切线方程,可先求出参数方程,然后求出方向向量,再带点即可。

【例子】 求 $z = y + \ln \frac {x}{z}$ 在点 $(1,1,1)$ 的平面和法线方程。

曲面的偏导数能够表示法向量。利用这一点即可做题。

令 $F (x) = z - y - \ln \frac {x}{z}$ 则:

$$ \begin{align} F_x &= - \frac{1}{z} \frac{z}{x} = -\frac{1}{x}\\ F_y &= -1\\ F_z &= 1 - \frac{z}{x}(-\frac{x}{z^2}) = 1+\frac{1}{z} \end{align} $$

带入 $(1,1,1)$ 得到法向量:$(-1,-1,2)$

所以切面方程为:

$$ (x-1)+(y-1)-2(z-1)=0 $$

法线方程为:

$$ \frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} $$

【例子】 求曲线 $\left\{\begin {array}{l} x^{2}+y^{2}+z^{2}=6 \\x+y+z=0\end {array}\right.$ 在点 $(1,-2,1)$ 处的切线和法平面方程。

解:

令 $z= -x -y$ 则 $x^2 + y^2 + (x^2+y^2+2xy) = 6$ i.e. $x^2+y^2+xy = 3$ i.e. $(x+\frac {y}{2})^2 +(\frac {\sqrt []{3}}{2} y)^2 = 3$ 后面三角换元华为参数方程。之后求导得方向向量,不 BB 了。

【例子】 证明 $z = xf (\frac {y}{x})$ 上任意一点的切平面过定点。

求偏导,得法向量,的平面,然后整理平面方程即可。不 BB。

【例子】 $z=4-x^{2}-y^{2}$ 上一点 $ P $ 的切平面平行于 $2x+2y+z = 1$ ,则 $ P $ 点坐标为?

【分析与解答】

法向量设为 $ (2k,2k,k) $

$$ F(x) = x^2 + y^2 + z - 4 $$
$$ F'_x = 2x = 2k\\ F'_y = 2y = 2k\\ F'_z = 1 = k $$

所以 $ x = y = 1 $

所以 $ P (1,1,2) $

【知识点】

对于直线方程 $Ax+By+Cx+D = 0$ ,其法向量就是 $ (A,B,C) $。

全微分的存在条件

可微。由于可微必然连续,连续必有二阶混合偏导相等,故若有全微分则二阶混合偏导相等。

【例子】 若 $ \left (a x^{2} y^{2}-2 x y^{2}\right) d x+\left (2 x^{3} y+b x^{2} y+1\right) d y $ 为 $ f (x,y) $ 的全微分,求 $a = ? ,b = ?$

【分析与解答】

$$ \begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial y}\left(a x^{2} y^{2}-2 x y^{2}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(2 x^{3} y+b x^{2} y+1\right) \\ 2 a x^{2} y-4 x y=6 x^{2} y+2 b x y \\ \left\{\begin{array}{c} 2 a=6 \\ -4=2 b \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{c} a=3 \\ b=-2 \end{array}\right.\right. \end{array} $$

驻点和极值点的判断

【例子】 设函数 $z=f (x,y)$ 的全微分为 $dz=xdx+ydy$ , 则点 $(0,0)$

【分析与解答】

$$ \begin{array}{l} \frac{\partial z}{\partial x}=x \quad \frac{\partial z}{\partial y}=1 \\ A=1 \quad C=1 \\ B^{2}=0 \\ AC-B^{2}>0 \end{array} $$

所以是极小值点

【例子】 设 $z = e^{2x}(x+y^2+2y)$ 则 $(\frac {1}{2}, -1)$ 是否是驻点、极值点?

利用 Hessian 矩阵判定法 $AC-B^2$ 判断,大于零则是极小值点。

【分析与解答】

首先求偏导

$$ \begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x} &=2 e^{2 x}\left(x+y^{2}+2 y\right)+e^{2 x} \\ &=e^{2 x}\left(2 x+4 y+y^{2}+1\right) \\ \frac{\partial z}{\partial y} &=2 e^{2 x} y+2 e^{2 x} \\ &=2 e^{2 x}(y+1) \end{aligned} $$

$$ \left\{\begin{array}{l} \frac{\partial z}{\partial x}=0 \\ \frac{\partial z}{\partial y}=0 \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} 2 y^{2}+4 y+2 x+1=0 \\ y+1=0 \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} x=\frac{1}{2} \\ y=-1 \end{array}\right.\right.\right. $$
$$ \begin{array}\\ A&=\left.\frac{\partial^{2} z}{\partial^{2} x}\right|_{\left(\frac{1}{2},-1\right)}&=\left.e^{2 x}\left(2 x+4 y+2 y^{2}+3\right)\right| _ {(\frac{1}{2},-1)} &=e^{1}(1-4+2+3)=2 e\\ C&=\left.\frac{\partial^{2} {z}}{\partial^{2} y}\right|_{\left(\frac{1}{2},-1\right)}&=\left.4 e^{2 x}\left(y+1+\frac{1}{2}\right)\right| _{\left(\frac{1}{2}, 1\right)}&=4 e\left(-1+1+\frac{1}{2}\right) = 2e\\ B&=\left.\frac{\partial z}{\partial x \partial y}\right|_{\left(\frac{1}{2},-1\right)}&=\left.e^{2 x}(4+4 y)\right| _{\left(\frac{1}{2},-1\right)}&=0\\ \end{array} $$

因此 $AC-B^2 = 4e^2 > 0$,该点是极小值点。

【知识点】

记 $f$ 在 M 点处的黑塞矩阵为 $H (M)$。由于 $f$ 在 $M$ 点处连续,所以 $H (M)$ 是一个 $n \times n$ 的对称矩阵,对于 $H (M)$, 由如下结论:

  • 如果 $H (M)$ 是正定矩阵,则临界点 M 处是一个局部的极小值。
  • 如果 $H (M)$ 是负定矩阵,则临界点 M 处是一个局部的极大值。
  • 如果 $H (M)$ 是不定矩阵,则临界点 M 处不是极值。

复合函数的求导法则

【例子】 设 $z = f (xy, \frac {x}{y})+ g (\frac {y}{x} )$ ,其中 $f,g$ 均可微,则 $\frac {\partial z}{\partial x}$ =?

解:

$$ \frac{\partial z}{\partial x}=f^{\prime}_1 y+f^{\prime}_2 \frac{1}{y}+g _{1}^{\prime} \cdot \left( -\frac{y}{x^{2}}\right) $$

【例子】 已知:$z=e^{2 x-3 z}+2 y$,求 $3 \frac {\partial z}{\partial x}+\frac {\partial z}{\partial y}$

错误示范:

$$ \begin{array}{l} \frac{\partial z}{\partial x}=2 e^{2 x-3 z} \\ \frac{\partial z}{\partial y}=2 \end{array} $$

这么做的问题在于,题给式子是一个隐函数。

已知偏导数求原函数的方法

【例子】 设 $u=u (x, y)$ 满足 $\frac {\partial^{2} u}{\partial x \partial y}=1+2 x$ 且 $u (x, 0)=1, u (0,1)=2$ 求 $u (x, y)$

【分析与解答】

对偏导积分得到 $\frac {\partial u}{\partial x}=\int (1+2 x) d y=y+2 x y+C_{1}(x)$

$u=\int\left[y+2 x y+C_{1}(x)\right] d x=x y+x^{2} y+\int C_{1}(x) d x+C_{2}(y)$

$u(x, 0)=f(x)+C_{2}(0)=1$

$u(0,1)=f(0)+C_2(1)=2=1-c_{2}(0)+c_{2} (1))$

$\therefore u(x, y)=x y+x^{2} y+1-c_{2}(0)+c_{2}(y)$

【例子】 已知 $ z = f (x,y) $ 满足:$\frac {\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=x+y$ $f (x, v)=x$ $f (v, y)=y^{2}$,则 $ f (x,y) = ? $

【分析与解答】

$\frac{\partial z}{\partial x}=x y+\frac{y^{2}}{2}+c_{1}(x)$

$z=\frac{x^{2}}{2} y+\frac{x y^{2}}{2}+\int c_{1}(x) d x+c_{2}(y)$

$z(x, 0)=g(x)+c_{2}(0)=x$

$z(0, y)=g(0)+c_{2}(y)=y^{2}$

代入 $ x = y = 0 $

$g(x) + c_2(0) = 0$

所以 $ g (x) + c_2 (y) = x+y^2 $

所以

$$ f(x,y) = \frac{1}{2}x^2 y + \frac{1}{2} xy^2 + x + y^2 $$