高数笔记：级数敛散性的判断方法

Pluveto

May 22, 2020 发布

学科笔记

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收敛级数具有哪些性质？

乘以常数，依然收敛。
互相加减，依然收敛。
增减有限项，依然收敛。
任意加括号，依然收敛。
一般项 $u_n$ 趋于零。

如何判断级数收敛？

柯西审敛原理

这是一种基础但是实际不常用的方法。它的原理是，当 m 非常大的时候，从 m 起的连续任意项求和等于零。

【例子】 判断 $\Sigma_{n=1}^{\infin}\dfrac {(-1)^{n+1}}{n}$ 的收敛性。

解：设 $p$ 是任意自然数。

若 $p$ 是偶数：

$$ \begin{aligned} &\left|u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots+u_{n+p}\right|\\ &=\left|\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}-\dots-\frac{1}{n+p}\right|\\ &=\left| \frac{1}{n+1}-\left(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}\right) \cdots-\frac{1}{n+p}\right|\\ &<\frac{1}{n+1} \end{aligned} $$

$p$ 奇数同理。

所以：

$$ |u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots+u_{n+p}|<\frac{1}{n+1}<\dfrac{1}{n} $$

$\forall \varepsilon >0 \ \forall p \in\N $ ，取 $N\geq \left [\dfrac {1}{\varepsilon}\right]+1$，则当 $n>N$ 时，$|u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots+u_{n+p}|<\varepsilon $ 成立。

可以发现，这个 $N$ 是通过前面的放缩来找的。 其中省略的思考过程如下：

$$ |u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots+u_{n+p}| < \frac{1}{n} < \varepsilon $$

则

$$ \frac{1}{\varepsilon} < n $$

$$ \left[\frac{1}{\varepsilon} \right]+1\leqslant N < n $$

注：对于正数的取整加一，其实就是向上取整。

【例子】 判断 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac {\sin 2^n}{2^n}$ 收敛

$$ \begin{aligned} \left|\sum_{k=m+1}^{m+p} \frac{ \sin 2^{k} } {2^{k}}\right| < \sum_{k=m+1}^{m+p} \frac{1} {2^{k}} <\frac{1}{2^{m}} < \varepsilon \end{aligned} $$

所以

$$ \frac{1}{\varepsilon} < 2^m $$

$m>N$ 时，有 $2^m>2^N$ ，所以可以写：

$$ \frac{1}{\varepsilon} < 2^N < 2^m $$

从而有：

$$ \frac{1}{\varepsilon} < 2^N \to -\log_{2} \varepsilon < N $$

所以取 $N = \left [-\log_{2} \varepsilon \right]$ 就行了。（为啥这里取整又不 +1 了？因为这是负数，取整就相当于向上取整了。）

（这些过程是思考的过程，答题的时候直接写取 $N$。）

比较审敛法

比较审敛法概括起来就是：更大的收敛那么小的也收敛。更小的发散那么大的就发散。类似证明不等式的放缩法。下面看例子：

【例子】 判断敛散性 $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac {2n+1}{(n+1)(n+2)(n+3)}$

解：可以用一个同阶的 $\frac {1}{n^2}$ 来判断。所以：

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n+1}{(n+1)(n+2)(n+3)}}{\frac{1}{n^2}} = 2 $$

所以收敛。

这里我们可以总结出一个规律：如果要比较的级数是 $u_n$，参考级数是 $v_n$，记 $\lim_{n \to \infty} \frac {u_n}{v_n} = l$ 那么：

如果 $l$ 是大于零的常数，说明 $u_n$ $v_n$ 是同阶的，也就是敛散性相同。
如果 $l = 0$ ，说明 $v_n$ 更高阶。那么更高阶的 $v_n$ 都收敛的话，更低阶的 $u_n$ 自然也收敛。
如果 $l = \infty$ ，说明 $v_n$ 更低阶。那么更低的 $v_n$ 都发散的话，更高阶的 $u_n$ 就更发散了。

我们来做下一道题：

【例子】判断敛散性 $\sum_{n=1}^{+\infty} u_n, u_n = \left (\dfrac {1}{n} - \ln \dfrac {n+1}{n} \right)$

这道题看似复杂，其实不然，其实只要我们能找到一个收敛级数 $v_n$，使得：

$$ 0 < u_n < v_n $$

那么自然 $u_n$ 也是收敛的了。所以怎么找呢？用高中学过的不等式 $\ln (1+x) < x$ 即可。

首先进行恒等变换：

$$ -\ln \dfrac{n+1}{n} = \ln \frac{n}{n+1} = { \color{blue} \ln( 1 - \frac{1}{n+1})} $$

然后当 $\ x \ne 0 \wedge {-1 < x < +\infty}$

$$ \begin{align} \ln( 1 + x ) < x\ \\ { \color{blue} \ln( 1 - \frac{1}{n+1})}< -\frac{1}{n+1} \end{align} $$

所以

$$ 0 < {\color{blue}\dfrac{1}{n} - \ln \dfrac{n+1}{n}} < \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} $$

而 $v_n = \frac {1}{n} - \frac {1}{n+1}$ 可以通过裂项求和发现是收敛的。所以比它小的 $u_n$ 也是收敛的。

达朗贝尔判别法

实际上就是通过相邻一般项的比值进行判断。它是比较审敛法的一种延伸。

$$ \lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right|=\rho $$

通过 $\rho$ 可以看出相邻项的高低阶关系。如果后一项比前一项低阶，或者同阶但更小，也就是 $\rho < 1$，级数自然就收敛（比如等比数列公比小于 1 的情况）。高阶则发散，同阶则无法判断。

【例子】 判断敛散性 $\sum_{n=1}^{+\infty} a_n, a_n = \frac {(n!)^2}{2^{n^2}}$

带入可知 $\lim_{n \to \infty} \frac {a_{n+1}}{{a_n}} = 0$ 所以是收敛的。

【例子】 判断敛散性 $\sum_{n=1}^{+\infty} 2^n \sin \frac {\pi}{3^n} $

这题的 $\sin$ 看上去不太好处理。所以可以直接放缩。$2^n \sin \frac {\pi}{3^n} < 2^n \frac {\pi}{3^n}$ 这样的等比数列收敛，所以题给数列也收敛。

也可以用比值判别法，实际上就是求出公比（极限情况）小于 1。

积分判别法

【例子】 判断敛散性 $\sum_{n=3}^{+\infty} \frac {1}{n (\ln n)^p},\ (p>1)$

我们可以利用级数收敛则相应通项函数积分收敛来测试其敛散性。（注：必须满足 $x > 1$ 时单调递减）

先求积分 $\int_{x=3}^{+\infty} \frac {1}{x (\ln x)^p} \mathrm {d} x$

令 $t = \ln x $，则 $x = e^t$

$$ \begin{align} I &= \int_{x=3}^{+\infty } \frac{1}{x(\ln x)^p} \mathrm{d} x\\ &= \int_{t=\ln 3}^{+\infty } \frac{1}{e^t t^p} \mathrm{d} e^t\\ &= \int_{t=\ln 3}^{+\infty } \frac{1}{ t^p} \mathrm{d} t\\ &= \int_{t=\ln 3}^{+\infty } t^{-p} \mathrm{d} t\\ &= -\frac{t^{1-p}}{1-p} |_{\ln 3}^{\infty}\\ &= -\frac{(\ln3)^{1-p}}{1-p} \end{align} $$

这是一个常数。因此级数收敛。