隐函数求导

例子: $x^2 + y^2 = 1$,求其上一点 $(x,y)$ 的斜率。

解:两边求导:

$$ 2x + 2yy' = 0\Rightarrow y' = -\frac{x}{y} $$

对 y 求导,就还要记得在对应的地方乘以 y。(其实想要对 x 求导,但实际操作 y,也仍然能得到结果。)

那么如果出现 $xy$ (乘积型)呢?如果 y 出现在了复合函数内呢?

例子:对 $y^4 + xy^2 - 2 = 0$ 求导。

解:两边求 $y$ 的导数:

$$ (y^4)'+(xy^2)' = 0\\Rightarrow(y^4)'+(x'y^2+x(y^2)') = 0\\Rightarrow 4y^3y' + y ^2 + 2xyy' = 0\\Rightarrow y' = -\frac{y^2}{4y^3+2xy} $$

我们如果求 $x$ 的导数呢?

$$ 4y^3+x'y^2+2xy = 0\\Rightarrow x' = -\frac{2xy + 4y^3}{y^2} $$

我们发现求导得到的 $x'$ 刚好是之前的 $y'$ 的导数。利用这一性质可以简化运算。

例子:设方程 $xy^2 + e^y = cos (x+y^2)$,确定了隐函数 $y = y (x)$,则 $\frac {dx}{dy}=_$

解:两边求 $x=x (y)$ 的导,

$$ x'y^2 + 2xy + e^y = - (x'+2y)sin(x+y^2)\\Rightarrow x'(y^2+sin(x+y^2)) = -(2xy+e^y+2ysin(x+y^2))\\Rightarrow x' = - \frac{2xy+e^y+2ysin(x+y^2)}{y^2+sin(x+y^2)}\\Rightarrow y' = \frac{y^2+sin(x+y^2)}{2xy+e^y+2ysin(x+y^2)} $$