基础知识

第一类曲线积分

曲线的线密度为 $\mu (x,y)$ ,那么曲线积分相当于求曲线的质量。其表达式为:

$$ \begin{align} M &= \lim_{\lambda \to \infty} \sum_{i=1}^{+\infty} \mu (x_i,y_i) \Delta S_i\\ & = \int_{L}^{} \mathrm{d} m = \int_{L}^{} f(x,y,z) \mathrm{d}s \end{align} $$

计算原理

若可以用参数方程表示曲线:

$$ L:\left\{\begin{array}{l} x=x(t) \\ y=y(t) \end{array}\right. $$

则被积函数可以表示为 $f (x (t), y (t))$ ,从而可以转变为单变量的积分。

对于 $\mathrm {d} s$ (曲线微元)当 $ \mathrm {d} x \mathrm {d} y $ 足够小的时候, $\mathrm {d} s = \sqrt []{(\mathrm {d} x)^2+ (\mathrm {d} y)^2} = \sqrt []{(x'_t)^2+ (y'_t)^2} \mathrm {d} t $

所以弧长的积分可以表示为

$$ I = \int_{\alpha}^{\beta} f\left(x(t), y(t)\right) \sqrt{\left(x^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(y^{\prime}(x)\right)^{2}} \mathrm{d} t $$

向量场的积分

原理

如果有一个力场 $\vec {F}(x,y,z)$ ,质点沿着光滑有向弧线 $C$ 受力匀速运动,我们如何求出 $F$ 所做的功呢?

我们可以把 $C$ 分解为一系列的子弧线 $P_{i-1} P_i$ ,每段的长度是 $\Delta s_i$ ,任取子弧线上一点 $\vec {F} _ {i}\left (x_{i}^{*}, y_{i}^{*}, z_{i}^{*}\right)$ 。我们用 $\vec {T} \left (x_{i}^{*}, y_{i}^{*}, z_{i}^{*}\right)$ 表示这一点的切向单位向量,则功的微元为:

$$ \left[\mathbf{F}\left(x_{i}^{*}, y_{i}^{*}, z_{i}^{*}\right) \cdot \mathbf{T}\left(x_{i}^{*}, y_{i}^{*}, z_{i}^{*}\right)\right] \Delta s_{i} $$

所以做的总功可以表示为:

$$ W=\int_{C} \mathbf{F}(x, y, z) \cdot \mathbf{T}(x, y, z) \mathrm{d} s=\int_{C} \mathbf{F} \cdot \mathbf{T} \mathrm{d} s $$

如何计算?

假设 $ C $ 通过向量方程 $\mathbf {r}(t)$ 给出, $a \leq t \leq b$ ,则积分可表示为:

$$ \int_{C} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r}=\int_{a}^{b} \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}^{\prime}(t) \mathrm{d} t=\int_{C} \mathbf{F} \cdot \mathbf{T} \mathrm{d} s $$

向量场的分解积分法

$$ \begin{aligned} \int_{C} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} &=\int_{a}^{b} \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}^{\prime}(t) \mathrm{d} t \\ &=\int_{a}^{b}(P \mathbf{i}+Q \mathbf{j}+R \mathbf{k}) \cdot\left(x^{\prime}(t) \mathbf{i}+y^{\prime}(t) \mathbf{j}+z^{\prime}(t) \mathbf{k}\right) \mathrm{d} t \\ &=\int_{a}^{b}\left[P(x(t), y(t), z(t)) x^{\prime}(t)+Q(x(t), y(t), z(t)) y^{\prime}(t)+R(x(t), y(t), z(t)) z^{\prime}(t)\right] \mathrm{d} t \end{aligned} $$

可以发现分解为了三个线积分。即是:

$$ \int_{C} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r}=\int_{C} P \mathrm{d} x+Q \mathrm{d} y+R \mathrm{d} z \quad \text { where } \mathbf{F}=P \mathbf{i}+Q \mathbf{j}+R \mathbf{k} $$

梯度定理

微积分基本定理有:

$$ \int_{a}^{b} F^{\prime}(x) \mathrm{d} x=F(b)-F(a) $$

由于梯度向量方程 $\nabla f$ 也是 $f$ 的某种形式的偏导数,直接带入可以得到:

$$ \int_{C} \nabla f \cdot \mathrm{d} \mathbf{r}=f(\mathbf{r}(b))-f(\mathbf{r}(a)) $$

此为曲线积分基本定理。

这说明,对于一个保守向量场,我们可以通过起点和终点直接计算出曲线积分。

【例子】 现有重力场 $\mathbf {F}(\mathbf {x})=-\dfrac {GMm}{|\mathbf {r}|^{3}} \mathbf {r}$ ,质点质量为 $m$,从 $ (3,4,12) $ 沿着某个光滑曲线移动到 $(2,2,0)$ ,求做的功。

解:设 $\mathbf {F} = \nabla f$ 对重力场积分,得到 $f = \frac {GMm}{r}$

$$ \begin{aligned} W &=\int_{C} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r}=\int_{C} \nabla f \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} \\ &=f(2,2,0)-f(3,4,12) \\ &=\frac{GMm}{\sqrt{2^{2}+2^{2}}}-\frac{GMm}{\sqrt{3^{2}+4^{2}+12^{2}}}=GMm\left(\frac{1}{2 \sqrt{2}}-\frac{1}{13}\right) \end{aligned} $$

定理 如果 $\mathbf {F}$ 是一个开放连通域 $ D $ 的连续的向量场,并且 $\int_{C} \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r}$ 与路径 $D$ 无关,那么 $\mathbf {F}$ 是 $D$ 上的保守场,且存在 $f$ 使得 $\nabla f = \mathbf {F}$ 。

定理 如果 $\mathbf {F}(x, y)=P (x, y) \mathbf {i}+Q (x, y) \mathbf {j}$ ,$ P,Q $ 一阶连续可偏导,则在可导域 $D$ 有:

$$ \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} $$

格林定理

使 C 是一个正向的光滑的,简单的平面上的闭合曲线,且为 $D$ 的边界,$ P, Q $ 在 $ D $ 有连续偏导数,则

$$ \int_{C} P \mathrm{d} x+Q \mathrm{d} y=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} A $$

向量形式:

$$ \oint_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=\iint_{D}(\operatorname{curl} \mathbf{F}) \cdot \mathbf{k} d A $$

【例子】 曲线 $C$ 和域 $ D $ 如图。求 $ \int_{C}^{} x^4 \mathrm {d} x + xy \mathrm {d} y$

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解:

$$ \frac{\partial Q}{\partial x} = y\\ \frac{\partial P}{\partial y} = 0 $$
$$ \begin{aligned} \int_{C} x^{4} \mathrm{d} x+x y \mathrm{d} y &=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} A=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x}(y-0) \mathrm{d} y \mathrm{d} x \\ &=\int_{0}^{1}\left[\frac{1}{2} y^{2}\right]_{y=0}^{y=1-x} \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \int_{0}^{1}(1-x)^{2} \mathrm{d} x \\ &\left.=-\frac{1}{6}(1-x)^{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{6} \end{aligned} $$

旋度和散度

旋度的定义

旋度描写了向量场上某一点附近向量的蜷曲程度

$$ \operatorname{curl} \mathbf{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \mathbf{i}+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) \mathbf{j}+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathbf{k} $$

对于向量场 $\mathbf {F}$ ,由于:

$$ \begin{aligned} \nabla \times \mathbf{F} &=\left|\begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{array}\right| \\ &=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \mathbf{i}+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) \mathbf{j}+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathbf{k} \\ &=\operatorname{curl} \mathbf{F} \end{aligned} $$

所以:

$$ \operatorname{curl} \mathbf{F}=\nabla \times \mathbf{F} $$

旋度定理

设 $S$ 是分片光滑的有向曲面,$S$ 的边界为有向闭曲线 $Γ$,即 $\Gamma=\partial S$,且 $Γ$ 的正向与 $S$ 的侧符合右手规则: 函数 $P (x,y,z)$、$Q (x,y,z)$、$R (x,y,z)$ 都是定义在 “曲面 $S$ 连同其边界 $Γ$” 上且都具有一阶连续偏导数的函数,则有:

$$ \iint_{S}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)dydz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)dzdx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy=\oint_{\Gamma}Pdx+Qdy+Rdz $$

简写成:

$$ \int_{S} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} $$

这表明,某个旋度 $\nabla \mathbf {F}$ 通过曲面的总通量,等于这个向量沿着曲面的封闭边界的路径积分。

散度定理

散度定理表明,某个区域流出量的通量,等于散度在曲面围起来的体积上的积分,也即等于所有流出点和流入点量的差。表达式为:

$$ \iiint_{\Omega} \operatorname{div} \mathbf{A} d v=\oiint_{\Sigma} \mathbf{A} \cdot \mathbf{n} d S $$

题型

直接给出参数方程的

【例子】

若积分区间为圆周

$$ \left\{\begin{array}{l} x=a \cos t \\ y=a \sin t \end{array}\right. $$

其中,$0 \leq t \leq 2 \pi $ ,求 $\oint_{L}^{}(x^2+y^2)^n \mathrm {d} s$

【分析与解答】

$$ \begin{array}{l} \oint_L\left(x^{2}+y^{2}\right)^{n} \mathrm{d} s \\ =\int_{0}^{2 \pi}\left[(a \cos t)^{2}+(a \sin t)\right]^{n} \cdot \sqrt{a^{2} \sin ^{2} t+a^{2} \cos ^{2} t} \mathrm{d} t \\ =\int_{0}^{2 \pi} a^{2 n+1} \mathrm{d} t \\ =2 \pi a^{2 n+1} \end{array} $$

【例子】 Find the work done by the force field $\mathbf {F}(x, y)=x^{2} \mathbf {i}-x y \mathbf {j}$ in moving a particle along the quarter-circle $\mathbf {r}(t)=\cos t \mathbf {i}+\sin t \mathbf {j}, 0 \leqslant t \leqslant \pi / 2$

解:

$$ \begin{align} \int_{C}^{} \vec{F} \cdot \mathrm{d} \vec{r} &= \int_{0}^{\frac{\pi }{2}} \vec{F}(\vec{r}(t)) \cdot \vec{r}'(t) \mathrm{d}t\\ &= \int_{0}^{\frac{\pi }{2}} (\cos ^2t \vec{i} - \sin t \cos t \vec{j})(- \sin t \vec{i} + \cos t \vec{j}) \mathrm{d}t\\ &= \int_{0}^{\frac{\pi }{2}} (\cos ^2t, -\sin t \cos t) \cdot (-\sin t , \cos t) \mathrm{d} t \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi }{2}} - 2\sin t \cos ^2 t \mathrm{d}t\\ &= 2 \left.\frac{\cos ^3 t}{3}\right|_0^\frac{\pi }{2}\\&= - \frac{2}{3} \end{align} $$

普通题

【例子】 计算 $\oint_{L}^{} \sqrt []{y} \mathrm {d} s$ ,其中 $ L $ 是 $ y = x^2$ 上的 $(0,0)$ 余 $ (1,1) $ 之间的曲线。

【分析与解答】

$ds = \sqrt[]{1+(y'(X)^2)} \mathrm{d}x= \sqrt[]{1+4x^2} \mathrm{d}x$

$$ \begin{align} \oint_{L}^{} \sqrt[]{y} \mathrm{d}s &= \int_{0}^{1} |x| \sqrt[]{1+4x^2} \mathrm{d}x\\ & \text {令} u = 1+4x^2 \text {则} du = 8x \mathrm {d} x\\ &= \int_{0}^{5} u ^{\frac{1}{2}}\frac{\mathrm{d}u}{8}\\ &= \frac{1}{8} \left.(\frac{u^{3/2}}{3/2} )\right|_0^5\\ &= \frac{1}{8} \frac{2}{3} 5^{\frac{3}{2}} - 1\\ &= \frac{5\sqrt{5}-1}{12} \end{align} $$