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«高等数学»笔记

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高数笔记:理解一致连续
understand-the-uniformly-continuous
2019
November 10
不一致连续就是会戳上天的连续(逃) 定义和我的理解 一致连续的定义可表述为:如果对任意的 $\epsilon > 0$,存在 $\delta>0$ 使得对任意兩點 $|x-y|< \delta$,都有 $|f (x)-f (y)|<\epsilon$,则稱函數 $f$ 在 $X$ 上一致连续。 我的理解:如果说 $f (x)$ 在某区间一致连续,那么 $f (x)$ 在该区间一定连续,同时:$f'(x)$ 有界,或该区间为闭区间。 例子 下图是 $y=x^2$ 图像,我们任取一个闭区间,会发现其斜率有界,也就是一致连续。我们让 $x\to\infin$,这时斜率无界,因此不一致连续。 –5–5–5–4–4–4–3–3–3–2–2–2–1–1–1111222333444555–3–3–3–2–2–2–1–1–1111222333444555000fff 下图是 $y=\sqrt {x}$ 图像,我们取 $[0,1]$ 区间,会发现斜率在 $x\to0$ 时无界,但是 $y$ 在 $[0,1]$ 连续,因此它一致连续。 –5–5–5–4–4–4–3–3–3–2–2–2–1–1–1111222333444555–3–3–3–2–2–2–1–1–1111222333444555000fff 证明 闭区间连续必一致连续 设 $[a,b]$ 是 $\R$ 上的闭区间,且 $f (x)$ 是 $[a,b]$ 上的连续函数,则 $f (x)$ 在 $[a,b]$ 上一致连续. 证明思路:假设不一致连续,任取区间 $[a,b]$ 内的两个子列,根据 “极限存在的充要条件”(单调有界数列收敛,且收敛于上确界)。 可知 $\lim\_{n\to\infty}(a\_n-b_n)=0$,而有界数列必有收敛子列(根据波尔查诺 - 维尔斯特拉斯定理 ),因此对两个子列分别映射到函数值之后的差取极限一定等于零($\lim_{n\to\infty}(f (a\_n)-f (b\_n))=0$),就与单调有界的定义(都有 $|f (x)-f (y)|<\epsilon$)矛盾。
高数笔记:间断点的类型
the-type-of-discontinuities
2019
November 9
第一类间断点 可去间断点 函数在该点,左极限、右极限存在且相等,但左右极限不等于该点函数值,或函数在该点无定义。 <g clip-path=“url("#nQdTETPTTqwV”)" transform=“scale(1)">–3–3–3–2–2–2–1–1–1111222333444–3–3–3–2–2–2–1–1–1111222333444000fffAAA –2.5–2.5–2.5–2–2–2–1.5–1.5–1.5–1–1–1–0.5–0.5–0.50.50.50.51111.51.51.52222.52.52.53333.53.53.5–1.5–1.5–1.5–1–1–1–0.5–0.5–0.50.50.50.51111.51.51.52222.52.52.5333000fffAAAA'A'A' 跳跃间断点 函数在该点左极限、右极限存在,但不相等。 <g clip-path=“url("#qzsHKaTFrfld”)” transform=“scale(1)">–3–3–3–2–2–2–1–1–1111222333444–3–3–3–2–2–2–1–1–1111222333444000fffAAABBB –0.5–0.5–0.50.50.50.51111.51.51.52222.52.52.53333.53.53.54444.54.54.5555–1.5–1.5–1.5–1–1–1–0.5–0.5–0.50.50.50.51111.51.51.52222.52.52.53333.53.53.54444.54.54.5555000gggAAA 第二类间断点 无穷间断点 <g clip-path=“url("#QEoOJDdlrWRp”)” transform=“scale(1)">–3–3–3–2–2–2–1–1–1111222333444–3–3–3–2–2–2–1–1–1111222333444000 震荡间断点 <g clip-path=“url("#AlTMWrmGEUiC”)” transform=“scale(1)">–1–1–1–0.8–0.8–0.8–0.6–0.6–0.6–0.4–0.4–0.4–0.2–0.2–0.20.20.20.20.40.40.40.60.60.60.80.80.81111.21.21.2–1–1–1–0.8–0.8–0.8–0.6–0.6–0.6–0.4–0.4–0.4–0.2–0.2–0.20.20.20.20.40.40.40.60.60.60.80.80.8111000fff