Intro

假设有一群生物,种群数量记为 $P (t)$,初始 $P_0 = 1$ ,每 $T$ 时间繁殖一次,增长率为 $r$. 则经过 $T$ ,种群数量为 $1 \cdot (1 + r)$.

假设这种生物进化了,每 $T$ 可以繁殖两次。则每次的增长率变为 $\dfrac {r}{2}$ 则经过 $T$,种群数量为 $1 \cdot (1 + \dfrac {r}{2}) \cdot (1 + \dfrac {r}{2})$

假设这种生物疯狂进化,以至于每 $T$ 可以繁殖 $n$ 次,每次增长率 $\dfrac {r}{n}$ 则经过 $T$,种群数量为 $1 \cdot (1 + \dfrac {r}{n}) ^n$

假设这种生物已经逆天,以至于每 $T$ 可以繁殖无数次 则经过 $T$,种群数量为 $\lim_{n\to\infty} (1 + \dfrac {r}{n}) ^n$

可以证明,上式收敛于 $e^r$。 当 $r = 1$ ,即增长率为 $100\%$ 时,经过 $T$ 种群的最大数量是 $e$。

定义

e
$$ \begin{align} e &= \lim_{x \to \infty} (1 + \dfrac{1}{x})^x \\ e &= \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!}+ {1 \over 2!} + {1 \over 3!}+ {1 \over 4!} + \cdots \end{align} $$

推论

根据二项式定理 [^ 用二项式定理证明 exp (x)],有:

$$ e^x = \lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n = \frac{x^0}{0!}+\frac{x^1}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots $$

根据证明帮助记忆。

  • 由于二项式定理从 0 开始,所以展开式从 0 开始
  • 分母的阶乘来源于组合数的分母
  • 分子的 $x^{n-1}$ 来源于 $(\dfrac {x}{n}) ^{n-k}$ 的指数

根据展开式

$$ \begin{align} e^{\theta i} &=\dfrac{\theta ^0 i}{0!}+\frac{\theta ^1i}{1!}-\dfrac{\theta^{2}i}{2 !}-\dfrac{\theta^{3} i}{3 !}+\dfrac{\theta^{4}}{4 !}+\dfrac{\theta^{5} i}{5 !}+\cdots \\ \sin \theta &=\frac{\theta^1}{1!}-\dfrac{\theta^{3}}{3 !}+\dfrac{\theta^{5}}{5 !}+\cdots \\ \cos \theta &=\frac{\theta ^0}{0!}-\dfrac{\theta^{2}}{2 !}+\dfrac{\theta^{4}}{4 !}+\cdots \\ \end{align} $$

可得欧拉公式:

$$ \begin{align} e^{\theta i}&=\cos \theta+i \sin \theta &= p\\ e^{-\theta i}&=\cos \theta-i \sin \theta &= n \end{align} $$

从而得到双曲函数:

$$ \begin{align} \cos \theta &= \dfrac{p+n}{2} &= \cos h \theta i\\ i\sin \theta &= \dfrac{p-n}{2} &= \sin h \theta i \end{align} $$

用 e 表示复数: $\forall \mathbf {v} \text {s.t.} \dim \mathbf {v} = 2$ ,$\mathbf {v} = r e^{\theta i}$